Эллипс это геометрическое место точек: Эллипсом называется геометрическое место точек
Глава 18. Эллипс
Глава 18. ЭллипсГлава 18. Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами и , расстояние между ними — через 2с. По определению эллипса или .Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид
(1)
где ; очевидно, . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса.
При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии (рис.). Оси симметрии эллипса называются просто его осями, центр симметрии — просто центром. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На рис. Вершины эллипса суть точки A’, A, B’, B. Часто осями эллипса называются также отрезки A’A=2a и B’B=2b; вместе с тем отрезок ОА=а называют большой полуосью эллипса, отрезок OB=b — малой полуосью.
Если фокусы эллипса расположены на оси Оу (симметрично относительно начала координат), то уравнение эллипса имеет тот же вид (1), но в этом случае ; следовательно, если мы желаем буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а и b поменять местами. Однако для удобства формулировок задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, расположенную на оси Ох, буквой b — полуось, расположенную на оси Оу, независимо от того, что больше, a или b. Если a=b, то уравнение (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный случай эллипса.
Число
где а — большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, (для окружности ). Если М(x; y) — произвольная точка эллипса, то отрезки и (рис.) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам
, .
Если эллипс определен уравнением (1) и , то прямые
,
(рис.) называются директрисами эллипса (если , то директрисы определяются уравнениями , .
Каждая директриса обладает следующим свойством: если r — расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d — расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:
Если две плоскости и образуют острый угол , то проекциейй на плоскость окружности радиуса a, лежащей на плоскости , является эллипс с большой полуосью а; малая полуось b этого эллипса определяется по формуле
(рис.).
Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окружность радиуса b, то в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к оси цилиндра под острым углом , будет эллипс, малая полуось которого рвна b; большая полуось а этого эллипса определяется по формуле
(рис.).
| Текст издания: | © Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998. | |
| Решение задач: | © Кирилл Кравченко,
http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉 |
105. Эллипс Эллипс – геометрическое место точек на пл-ти, сумма расстояний от каждой икоторых до 2 заданных точек f1 и f2, называемых фокусами постоянна и равна 2a.
x2/a2 + y2/b2=1 = 1 –каноническое уравнение эллипса. 0>E<1.
Факальный параметр p=b2/a, r=p/(1+Ecosφ) – полярное ур-ие.
r1+r2=2a – большая ось.
2b – малая ось.
2с – расстояние между фокусами. b2 =a2-c2.
Е=с/а – эксцентриситет.
Е=0 c=0 – окружность радиуса а. Е=1 c=a – отрезок.
a11x2 +2a12xy + a22y2 + 2a20y+ a00=0, где а11,а12,а22,а10,а20,а00 – действительные числа, причём а111, а12, а22 одновременно не равны 0.
106. Гипербола
Гипербола – геометрическое место точек модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек(фокусов) постоянен. ׀v1-v2׀=2a/
x2/a2 — y2/b2=1 – каноническое ур-ие гиперболы.
b2=c2
-a2.E=c/a E>1.
y=(±b/a)x. r=p/(1+Ecosφ) – полярное ур-ие.
Прямые L1 и L2, уравнения которых у=+- (b/a)х называются асимптотами гиперболы, где а и b действительные мнимые полуоси гиперболы.
108. Кривые второго порядка.
Множество точек плоскости M(х,у) , координаты х и у которых удовлетворяет уравнению
a11x2 +2a12xy + a22y2 + 2a20y+ a00=0, где а11,а12,а22,а10,а20,а00 – действительные числа, причём а111, а12, а22 одновременно не равны 0, называется кривой второго порядка. Причем ур наз. общим уравнением кривой.
111. Парабола
Парабола — геометрическое место точек пл-ти, равнгоудаленных от данной точки(фокуса)и данной прямой (директриса). у2=2рх.
Параболой наз. множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до каждой точки f равно расстоянию до данной прямой d не проходящей через точку f. Прямая d явл. Её директрисой, ур-е которой х+ р/2 =0
112. Эллипс Эллипс – геометрическое место точек на пл-ти, сумма расстояний от каждой икоторых до 2 заданных точек f1 и f2, называемых фокусами постоянна и равна 2a.
x2/a2 + y2/b2=1 = 1 –каноническое уравнение эллипса. 0>E<1.
Факальный параметр p=b2/a, r=p/(1+Ecosφ) – полярное ур-ие.
r1+r2=2a – большая ось.
2b – малая ось.
2с – расстояние между фокусами. b2 =a2-c2.
Е=с/а – эксцентриситет.
Эксцентриситетом наз. отношение его фокального расстояния большей полуоси. Для эллипса e=c/a. Он может быть = 0 (окружность). При Эксцентриситете = 1, эллипс вырождается в отрезок. Половине может быть равен. Двум не может быть равен, т.к расстояние между фокусами меньше главной оси.
Е=0 c=0 – окружность радиуса а. Е=1 c=a – отрезок.
113. Гипербола
Гипербола – геометрическое место точек модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек(фокусов) постоянен. ׀v1-v2׀=2a/
x2/a2 — y2/b2=1 – каноническое ур-ие гиперболы.
b2=c2-a2.
E=c/a E>1.
y=(±b/a)x. r=p/(1+Ecosφ) – полярное ур-ие.
Прямые L1 и L2, уравнения которых у=+- (b/a)х называются асимптотами гиперболы, где а и b действительные мнимые полуоси гиперболы.
114. Выпуклое множество
Мн-во MАn называется выпуклым, если для любых 2-х точек А и В этого мн-ва отрезок АВ также лежит в мн-ве М (напр. куб, шар, квадрат, круг, пирамида, эллипс).
Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество.
115. Выпуклая область
Пересечение нескольких полупространств в Аn называется выпуклой многогранной областью в Аn.
В ыпуклая многогранная область
В свою очередь, полупространством в An – называется множество точек x(x1,x2,…,xn) таких, что
a1x1+a2x2+…+anxn+b0
a12+a22+…+an2>0
a1, a2,…,an, b – фиксированные числа.
116. Выпуклая область. Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Пересечение нескольких полупространств в Аn называется выпуклой многогранной областью в Аn.В ыпуклая многогранная область
В свою очередь, полупространством в An – называется множество точек x(x1,x2,…,xn) таких, что
a1x1+a2x2+…+anxn+b0
a12+a22+…+an2>0
a1, a2,…,an, b – фиксированные числа.
Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Согласно
теореме о вып. множествах. Согласно
лемме пересечение нескольких выпуклых
множество есть выпуклое множество.
Действительно пусть М=М1∩М2, где
М
Кривые второго порядка
Математика Кривые второго порядка
просмотров — 132
Лекция 17
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность — ϶ᴛᴏ геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой центром окружности (рис.17.1).
(17.1)
если центр перенесен в точку с координатами , то
(17.2)
Рис. 17.1
Определение. Эллипсом принято называть геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная .
Выведем каноническое уравнение эллипса. Возьмем произвольную точку , принадлежащую эллипсу. Отрезки , называются фокальными радиусами точки и обозначаются (Рис17.2). Их постоянную сумму принято обозначать через . По этой причине
(17.3)
Рис. 17.2
Расстояние между фокусами обозначим за и будем называть фокальным расстоянием. При этом , . Т.к. , то и следовательно
(17.4)
Для вывода уравнения выразим фокальные радиусы через координаты точек :
Подставим полученные выражения в формулу (17.3)
и избавимся от корней
возводим в квадрат
Сокращаем на , раскрываем скобки
сокращаем на , переносим корень влево
еще раз в квадрат: раскрываем и группируем
;
.
В полученном выражении введем обозначение
(17.5)
Получим каноническое уравнение эллипса или
(17.6)
Где — большая полуось эллипса, — малая полуось эллипса
Из соотношения (17.5) получим формулу для фокального расстояния эллипса:
(17.7)
В случае если центр перенесен в точку с координатами , то каноническое уравнение эллипса имеет вид:
(17.8)
Определение. Отношение расстояний между фокусами эллипса и длиной его большой оси. Называется эксцентриситетом и обозначается
(17.9)
Т.к. для эллипса , то
Сократим равенство (17.9) на и возведя в квадрат выполним следующие преобразования:
,
или .
Из последних равенств видно, что эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и наоборот, следовательно, чем больше эксцентриситет, тем более вытянута форма эллипса, при уменьшении эксцентриситета – эллипс стягивается в окружность.
Для произвольной точки эллипса , .
Система определяет параметрическое уравнение эллипса.
В полярной системе координат уравнение эллипса имеет вид
Для эллипса вводят две прямые называемые директрисами, их канонический вид: , .
Определение. Эллипс — геометрическое место точек, для которых отношение фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса (рис. 17.3):
(17.10)
Определение. Гипербола — ϶ᴛᴏ геометрическое место точек, для каждой из которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная .
Любая точка принадлежит гиперболе, если разность между ее фокальными радиусами равна(рис.17.3).
(17.11)
Рис.17.4
поступая по аналогии с выводом уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
(17.12)
Где , — действительная ось, — мнимая ось, — фокальное расстояние.
Расстояние до фокуса гиперболы будет определятся равенством: (17.13)
Прямые (17.14)
называются асимптотами гиперболы.
В случае если координаты центра смещены в точку , то каноническое уравнение гиперболы имеет вид (17.15) Прямоугольник, построенный на величинах и – принято называть основным прямоугольником гиперболы (рис. 17.5).
Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение фокального расстояния к действительной оси
, или
ᴛ.ᴇ. эксцентриситет гиперболы характеризует форму основного прямоугольника, и следовательно форму гиперболы.
Определение. Две прямые, ортогональные той оси гиперболы, которая ее пересекают и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называются директрисами гиперболы. Обозначаются (рис.17.5).
Рис.17.5
Определение. Парабола — ϶ᴛᴏ геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки , называемой фокусом равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой , называемой директрисой (рис. 17.6):
(17.16)
Расстояние – принято называть фокальным расстоянием параболы, а параметр — параметром параболы. Т.к. для параболы , то .
Выведем уравнению параболы, используя формулу (17.16) и то обстоятельство, что , .
Рис. 17.6
, .
Приравниваем и возводим в квадрат:
Избавляемся от корня повторным возведением в квадрат
Приходим к каноническому уравнению параболы
(17.17)
В случае если вершина параболы смещена в точку , то каноническое уравнение имеет вид:
Читайте также
Для общеобразовательной школы По охране труда Форма последней страницы инструкции Для общеобразовательной школы По охране труда Форма первой страницы инструкции Для общеобразовательной школы По охране труда Форма титульного листа… [читать подробенее]
Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка 41. Взаимное расположение прямых на плоскости Рассмотрим взаимное расположение прямых в двух случаях, когда прямые заданы общими уравнениями и уравнениями с угловыми коффициентами. 1)… [читать подробенее]
Определение 11. Окружностью называют геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки – центра. Каноническое уравнение окружности имеет вид . Определение 12. Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из… [читать подробенее]
Из множества кривых второго порядка на плоскости рассмотрим окружность, эллипс, гиперболу и параболу. О у х М(х;у) .А(а;b) Определение 1. Окружностью называется множество всех точек М(х,у) плоскости, расстояние которых до фиксированной… [читать подробенее]
Лекция 17 Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики. Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой центром окружности (рис.17.1). (17.1) если центр… [читать подробенее]
Контрольные вопросы: 1. Окружность. 2. Эллипс. 3. Гипербола. 4. Парабола. 5. Общее уравнение кривой второго порядка. 1.Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра) на данное расстояние. Если R – радиус окружности, точка С- ее… [читать подробенее]
Линии, определяемые уравнениями второй степени с двумя текущими координатами называются кривыми второго порядка. Это уравнение на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) определяет окружность, эллипс, гиперболу, параболу. Окружность – множество… [читать подробенее]
Замечание. Если фокус параболы лежит на оси а директриса параллельна оси ординат (при этом фокус и директриса равноудалены от оси абсцисс), то ее уравнение имеет вид: (17.3) Очевидно, что кривая, определяемая уравнением 17.3 задает кривую, изображенную на рис. 17.5. … [читать подробенее]
Лекция 17 Свойство самосопряженного линейного оператора 1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны. 2. Если A – самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора… [читать подробенее]
Замечание. Если фокус параболы лежит на оси а директриса параллельна оси ординат (при этом фокус и директриса равноудалены от оси абсцисс), то ее уравнение имеет вид: (17.3) Очевидно, что кривая, определяемая уравнением 17.3 задает кривую, изображенную на рис. 17.5. … [читать подробенее]
Эллипс есть — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Эллипс есть
Cтраница 1
Эллипс есть кривая, родственная окружности. [1]
Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух неподвижных точек ( фокусов F и Рг) есть величина постоянная ( фиг. [2]
Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух неподвижных точек ( так называемых фокусов F и FI) есть величина постоянная ( фиг. [3]
Частный вид эллипса есть круг; х2 — — у2 г2 есть уравнение круга, имеющего радиус г и центр в начале координат О, как не трудно убедиться на основании теоремы Пифагора. [4]
Показать, что эллипс есть геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, постоянна. [5]
Известно, что эллипс есть кривая второго порядка, не имеющая бесконечно удаленных ( несобственных) точек. Поэтому, чтобы получить в сечении эллипс, надо выбрать такую плоскость, которая пересекает все прямолинейные образующие конической поверхности. В частном случае, когда диаметры эллипса равны ( секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности), в сечении получается окружность. [6]
То обстоятельство, что эллипс есть плоское сечение круглого цилиндра, а также проекция окружности на плоскость, делает представление об этой линии особенно наглядным. [7]
Геометрическое место центров этих эллипсов есть некоторая прямая, проходящая через вершину конуса внутри его ( за вычетом некоторых, отрезков с серединой в вершине конуса в случае двуполых гиперболоидов) ( черт. [8]
Принимая теперь, что движение по мгновенному эллипсу есть точная картина явления, применим ко всей планетной системе закон сохранения площадей. [9]
Это отношение основано на том, что эллипс есть фигура аффинная к кругу; вообще, имеет место гид жжение: при аффинном изображении плоской фигуры изображение центра ткжести есть центр тяжести изображения. [10]
Из рис. 36 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. В первой четверти это выпуклая вверх кривая. [11]
Из рис. 37 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. [12]
Сопоставляя все вышесказанное, получаем следующий вывод: эллипс есть замкнутая кривая линия; она расположена целиком внутри некоторого прямоугольника PQRS. [13]
Из задач 2 и 3 следует, что огибающая системы нормалей к эллипсу есть астроида. [14]
Страницы: 1 2
Введение в математику — тест 6
Главная / Математика / Введение в математику / Тест 6 Упражнение 1:Номер 1
Геометрическое место точек, отстоящих от точки О(0;0) на расстоянии 5 единиц, задает линию, называемую:Ответ:
 (1) окружность 
 (2) гипербола 
 (3) эллипс 
Номер 2
Геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух точекА(1;0)иВ(0;1)равно 5 единиц, задает:
Ответ:
 (1) окружность 
 (2) гиперболу 
 (3) эллипс 
Номер 3
Геометрическое место точек, отстоящих от точки А(1;2) на расстоянии 2 единицы, задает:Ответ:
 (1) окружность 
 (2) гиперболу 
 (3) параболу 
Упражнение 2:
Номер 1
Геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых до двух точекА(1;0)иВ(0;1)равно 5, задает:
Ответ:
 (1) окружность 
 (2) гиперболу 
 (3) эллипс 
Номер 2
Геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии до точкиА(1;0)и прямойy=3, задает:
Ответ:
 (1) окружность 
 (2) гиперболу 
 (3) параболу 
Номер 3
Геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до точекА(2;2)иВ(2;4)равно 4 единицам, задает:
Ответ:
 (1) окружность 
 (2) гиперболу 
 (3) эллипс 
Упражнение 3:
Номер 2
Большая полуось эллипса равна:
Ответ:
 (1) 8 
 (2) 5 
 (3) 25 
Номер 3
Геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых до точекА(1;3)иВ(1;0)равно 3 единицам, задает:
Ответ:
 (1) окружность 
 (2) гиперболу 
 (3) параболу 
Упражнение 4:
Номер 1
Меньшая полуось гиперболы 9x2-y2=9 равна: Ответ:
 (1) 9 
 (2) 3 
 (3) 1 
Номер 2
Геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии до точкиА(0;1)и до прямойх=1, задает:
Ответ:
 (1) окружность 
 (2) гиперболу 
 (3) параболу 
Номер 3
Меньшая полуось эллипса равна:
Ответ:
 (1) 9 
 (2) 5 
 (3) 3 
Упражнение 5:
Номер 2
Направляющий орт некоторой заданной прямой L – это вектор:Ответ:
 (1) коллинеарный L и единичной длины 
 (2) ортогональный L и единичной длины 
 (3) лежащий на L и единичной длины 
Номер 3
Действительная полуось гиперболы 9x2 - y2 = 9 равна: Ответ:
 (1) 9 
 (2) 1 
 (3) 3 
Эллипс,гипербола,парабола
конечно шутка дана парабола это просто эллипс что такое эллипс эллипс это очень крутая штука что такое эллипс военных называли овал всем привет с вами снова борис трушин и сегодня мы поговорим про три очень важные кривые это эллипс пара была гипербола вам может казаться что вы знаете что это такое что ну вот параболы там y равно x квадрат гипербола это y равно единичка на x ну эллипс мы что-то такое слышали даже еще в детском садике только там мы это называли овал на ли как любят шутить что такое эллипс и без это просто окружность вписанная в квадрат 3 4 то есть это такая вот вытянутая окружность ну более-менее мы понимаем что это такое вот после сегодняшнего видео вы начнете это понимать прямо почти почти совсем идеально вы будете понимать как они устроены что гипербола бывает не только такие которые вы изучали в школе и что это все друг с другом очень сильно связана давайте начнем самый сложный для вас фигуры начнем с эллипса что такое эллипс эллипс это очень крутая штука эллипс это на самом деле просто множество точек таких что сумма расстояний до двух данных которые называются фокусы постоянно вот смотрите есть две точки и дальше вы выбираете какую-нибудь длину но больше чем расстояние между этими точками и рисуете все точки такие что сумма расстояний до этих двух постоянно можно даже это сделать руками до взять взбить два гвоздика привязать веревочку и вот так вот рисовать натягивая ту верёвочку получится вот такая вот фигура но это очень криво нарисовал какая-то такая фигура получится на самом деле вы уже сейчас только зная определением можете найти уравнение для этой фигуры вот смотрите возьмите систему координат скажите что пускай вот один фокус находится в точке f 2 fox находится в точке минус f ну и пускай сумма расстояний до фокусов мы хотим чтобы равнялась какому-то числу там д вот берем любую точку которая удовлетворяет давайте поймем как связаны ее координаты но смотрите мы хотим чтобы это плюс вот это равнялось д ну как найти расстояние между этими . помните да все что нужно понимать что расстояние между точками это корень из x 1 минус x 2 в квадрате плюс y 1 минус y 2 в квадрате на самом деле просто теорема пифагора поэтому одно расстояние это корень из x минус вот это то есть x + f в квадрате плюс y минус 0 до то есть плюс y в квадрате так это расстояние до вот этой точки расстояния до этой точки оно вот такое ну потому что наши точки координат x y а в этой точке координат и f0 и мы хотим чтобы вот это было равно одному и тому же число d давайте немножко преобразуем это выражение но если мы прямо сразу возведем в квадрат то возникнет не очень приятное слагаемое удвоенное произведение там будет 2 умножить на произведение этих корней довольно корявый штука с которой не очень хочется возиться поэтому давайте просто один корешок вот этот например отправим направо и у нас получается вот что и вот теперь возведем в квадрат ну и смотрите тут довольно много чего уходит почти все да вот это вот это вот это уходит вот этим но и давайте корешок оставим с одной стороны все что без корни с другой стороны и опять еще раз возводим в квадрат ну что-то уходит вот самое неприятное как раз и уходит да вот здесь и здесь минус 8 xf г квадрат вот это и вот это вот ушло вот ну и теперь смотрите собираем все что с x квадрат и y квадрат с одной стороны получается с некоторым множителем но какой-то множитель 4d квадрат минус 16в квадрат на все это на x квадрат вот и + 4g квадрат y квадрат равно ну а справа осталось просто d в четвертой вот такая вот штука ну надо какие слова сказать понятно что вот это должно быть положительным по простым причинам потому что 2d явно больше чем 4f ну почему-почему d больше чем 2 ф но потому что мы хотим вот-вот-вот . да снаружи это . сумма расстояний до фокусов явно больше чем 2 ф поэтому эта величина положительная ну вот получилось такое уравнение обычно его не так записываю да если вы поделите слева и справа на d в четвертой и коэффициенты которые тут возникают назовете специальным образом то получается вот такой вот стандартный вид для и ipso какой коэффициент при x квадрат его пишут снизу сейчас поймем почему какой-то центре y квадрат равно единичке почему так пишут потому что если y равен нулю то x равно плюс минус а то есть вот а это то где мы пересечём о силу здесь а если x равен нулю то y равно плюс минус b вот поэтому вот эти вот а и б они отвечают за размеры но сейчас нам это не важно сейчас нам важно то что мы увидели что действительно получается вот какое-то такое уравнение сколько ты x квадрат плюс сколько ты y квадрат равно чему-то вот целью всем разобрались на самом деле люкс из кучи всяких интересных свойств но сейчас наверное быстренькому вам их доказывать не будем связаны вот они с чем что если вы возьмете и пустите лучик до из точки из одного из фокусов представьте что у вас вот это вот это такая зеркальная поверхность если выпустить и лучик то отразившись он придет всегда в этот фокус куда бы вы не пустили лучик он приходит вот сюда но это просто связано с тем что если вы нарисуете касательную и проведете к этой касательной к точке касания два отрезка то такие вот углы равны ну а дальше физик да там угол падения равен углу отражения из приходит туда куда надо такое простое геометрическое свойство да что-то нужно понимать про касательные как ее строить но это очень красиво потому что ну например делают даже такие удивительные бильярдные шары форме эллипса и отмечены два фокуса если в один фокус поставить шарик то как бы ты по нему не ударил он отразившийся от стены обязательно пролететь через другой фокус есть куда бы ты его не ударил люцида ударил он прилетит сюда сюда ударил да он все равно прилетит сюда вот куда его не направив вам при лет пролетает ну понять что пролитая дальше не останавливается он пролетает через вторую фокус ну понятно пролетая через вот выпустили шарик он пролетел через фокус отразился и куда же он полетел он полетел через этот фокус да ну и так далее он будет летать носит хороший шарик и хорошее поле без трения то он будет летать очень долго и каждый раз пролетает через фокус вот так что эллипс это множество точек таких что сумма расстояния за 2 данных это константа давайте поговорим про гиперболу на самом деле гиперболы это не только то что вы изучали в школе в школе вы изучаете только гиперболы у которых оси перпендикулярные при этом параллельны осям координат на самом деле гипера было бывают разные гипербола она может быть устроена например как то вот так что вот вас есть две прямые причем под любым углом да и выглядит она вот так ну для того чтобы про это можно было говорить нужно вообще понять а что же мы называем гиперболы так вот это очень похожи на эллипс только в или psy мы говорили что у нас есть две точки которые мы называем фокусы и наш эллипс это геометрическое место точек таких что сумма расстояний до двух данных точек постоянно тут то же самое тур тут разность расстояний а постоянно давайте я не буду проделывать все то же самое что мы делали там точно так же можно сделать сказать что пускай вот тут вот есть две точечки вот эта точка с координаты f вот эта точка с координатами минус f до написать условие взять любую точку написать расстояние сюда написать расстояние сюда записать что модуль разности этих расстояний равен какому-то числу д точно так же по преобразовать как мы это делали с эллипсом ну не хочется тратить еще пять минут на ровно те же самые рассуждения и мы получим уравнение которое может быть в итоге записано вот так x квадрат делить на а квадрат минус y квадрат делить на b квадрат равно единичке вот очень похожа на эллипсу эллипса тут плюс а здесь тут минус вот и вся разница с точки зрения уравнения картинка прямо принципиально против положено вот это гипербола у неё тоже есть красивые геометрические свойства до что вот если вы возьмёте точку проходить вот так азик пройтись касательно то вот эти вот уголочки будут равны вот ну давайте прямо глубоко-глубоко в это погружаться не будем но вот что такое гипербола на самом деле и давайте поговорим еще про параболу вот в параболы и очень интересно потому что вам кажется что это супер знакомо для вас объект но вы про нее очень мало чу знаете она очень похожа на эллипсе гиперболу что такое пора было по определению есть . которая называется фокус есть прямая которая называется словом которые вызывают улыбку всех школьников этот прямая называется директриса и парабола это геометрическое место точек таких что расстояние до фокуса и директрисы одинаковы то есть вот вы берете и отмечаете все точки такие что вот эти вот расстояния одинаковы понятно так что вот это вот равно вот этому это что получится и называется параболы ну давайте с параболы мне кажется вам интереснее всего и это попроще чем с эллипсом на гиперболы сейчас попробуем уравнение вывести вот смотрите пускай а вот тут вот прямая ну сделаем симметрично чтобы пара был проходил через начало координат прямая минус f . f и мы рассматриваем все точки с координатами x y так что вот это расстояние равно вот этому расстоянию так но это расстояние совсем легко понять да потому что расстояние до оси равно y еще плюс f да то есть вот это расстояние это просто y + f понятно вот это игрека это еще f ну а вот это расстояние снова по нашей хорошо известной формуле для расстояния x квадрат плюс y минус f в квадрате наш нас две точки 1 с координатами x y а другая с координатами 0 оп и мы хотим чтоб вот это равнялось y + f на написали условии что расстояние до этой точки равно расстоянию до этой прямой и что у нас получается ну давайте возведем в квадрат x квадрат плюс y квадрат минус 2y + i в квадрат равно y квадрат плюс 2y + i в квадрат и чё-то много чего уходит 1 ушло 2 ушло и осталось что направо переносим справа будет 4 игрека в делим на 4 f и получается y равно x квадрат делить на 4 f узнаете обычная ваша парабола ну в частности если f равно 1 4 то получится парабола y равно x квадрат красивая пара была это вот такая вот интересная штука что расстояние до некоторой точки равно расстоянию до некоторой прямой пора было кстати есть тоже очень хорошие свойства и вы их используете каждый день но не вы в быту их использует каждый день смотрите какой есть интересное свойство параболы что если вы проведете прямую параллельную оси вот есть ось параболы до а вы проводите любую прямую параллельную оси то вот такой угол равен вот такому углу то есть отражаясь от стен и параболы мы всегда приходим фокус это знаете где используется это используется в параболических антенн вот видели когда-нибудь которой вот висят тарелки дан на домах или еще где то большие тарелки там военные бывают это все просто пара была которые за вращали вот ту тарелку которую вы видите да это просто за вращали параболу вокруг ее оси а вот . который приемник он находится в фокусе и что делает эта параболическая антенна и и направляют в сторону спутника и тогда сигнал который идет со спутника ну он далеко поэтому они линии почти параллельны приходит в эту тарелку отражается и все приходят в этот вот фокус да то есть что делает он усиливает сигнал одно дело вы просто поставить приемник и тогда просто сигнал который приходит в точности в него это приемник услышат а тут этот приемник слышат весь сигнал который приходит в эту большую тарелку все отражается приходит в одну точку понятно да что вы делаете большую большую тарелку все что сюда падает она отражается и приходит фокус то есть эти параболические антенны все что они делают они просто усиливают сигнал так что параболу вы используете каждый день в том или ином виде потому что все все что там вот не знаю всякое сотовой связи все остальное она на параболических антенн вот хорошо но кажется но кей поговорили про три красивые кривые или брызги 1 пара было здорово вроде разобрались ну что между ними общего но какие то есть общие свойства но даже каких довольно разные вещи сейчас мы узнаем что это почти одно и то же сейчас мы с вами поговорим про конические сечения но не совсем того конуса который у вас был школе такое более общего объекта смотрите что называется конической поверхностью это очень простая вещь и вот берете ось да любая прямая берете любую прямую которая пересекает эту ось и за вращали ее вокруг этой прямой у вас получилась вот такая вот поверхность бесконечного обе стороны на такие бесконечные песочные часы понятно да вот есть одна прямая есть другая прямая которая пресекает эту вторую прямую за вращали вокруг первые вот поверхность которая получилась называется конической поверхностью то что школе называется конусом это вот верхняя часть совсем выкинем а тут так и перпендикулярно отрежем и вот то что останется называется этим школьным конусом вот и дальше сейчас я не буду прямо дико строго все делать уже но чтобы это все руками проделать самостоятельно нужно довольно хорошо разбираться в стереометрии там уметь задавать эту поверхность это не очень сложно но вот уже начинать искать кривые которые получаются в сечении это требует некоторого опыта работы с этим и сейчас если я буду рассказывать это полчаса такой нудной возни но на пальцах от довольно простая вещь посмотрите если вы печете плоскостью перпендикулярный оси то понятно что получится да получится кружочек так если вы немножко повернете плоскость то будет что-то очень похожее на кружочек но такое вытянутое вот на самом деле это эллипс если вы немножко повернете плоскость то в сечении будет получаться эллипс поворачиваем поворачиваем поворачиваем это все более и более более более вытянутые эллипсы в некоторый момент мы так сильно повернем что плоскость по которым мысе чем станет параллельна вот этой прямой и сразу видно что это какой-то такой эллипс который никогда не заканчивается до потому что вот эту образующим уже не пересечем вот если мы так power проведем плоскость параллельна некоторые образующий то эта плоскость не пересекает эту образующую поэтому то явно будет не замкнутая поверхность это такое будет почти эллипс но бесконечный и знаете что получится что такой бесконечный эллипс если плоскость параллельна этой прямой то то что у вас получится это будет парабола то есть каком-то смысле пора было это просто бесконечный эллипс красиво да с просто поворачиваем поворачиваем эллипс эллипс или целью целью как только параллельна этой прямой бац и сразу парабола а чтобы дальше смотрите возьмем еще продолжим поворачивать и что же мы заметим кроме того что вот здесь будет что-то похоже на параболу наша плоскость начнет пересекать и верхнюю чашечку тоже и получится как будто бы одна пара была здесь но еще какой-то кусочек вот здесь чужих закрывает такая 2 параболы за не 2 parable как только плоскость проходит под таким углом что она не просто параллельно а уже начинает пересекать эту прямую сверху это будет гипербола поэтому в каком-то смысле эллипс гипербола и парабола это вообще одно и тоже был был был эллипс бат случай настала пора болбат стала гипербола у математиков даже есть такая шутка вот смотрите вот представьте себе эллипс да вот тут эллипс берете хватается его за конец за краешек да и начинаете тянуть тяните тяните тяните получается такой вытянуты вытянутый вытянутый эллипс до тяните тяните тяните тяните утянули этот конец в бесконечность и у вас получилась пара была представляете да как только у вас этот конец оказался в бесконечности то это парабола а теперь представьте что вы утянули в бесконечность и решили потянуть еще дальше так дальше потянули она у вас выскочил из той бесконечности представляете вы ушли туда вот вы ещё стоите да вы тянете в ту сторону но если вы сильно потянули там-то она выскочила здесь из утяну лишь плюс бесконечности на утянул с минус бесконечность и это получилось гипербола красиво да то есть если взять эллипс тянуть сину тянуть-то в некоторый момент из него получится парабола если совсем сильно потянуть то даже гипербола это конечно шутка да но она позволяет вот прочувствовать насколько эти штуки связаны между собой в каком-то смысле параболы это просто эллипс у которой один фокус утянули на бесконечность на гипербола из ты как будто потянули еще дальше и вышли с другой бесконечности вот ну на самом деле наверное все что я вам хотела рассказать про сервис гиперболы параболу если вам нравятся такие вот видео типа высшая математика на пальцах это все вам патч более честно расскажут на первом курсе но если хочется с этим познакомиться еще не дожив до 1 курс или вы поступили в вуз где не очень серьезная математика математика вас интересует вот будут периодически выходить ролики про такую высшую математику на пальцах что вывод понимали да вот вот что вас ждет дальше какие объекты вы будете звучать в вузе если захотите продолжить заниматься математики все на этом все если нравится ставьте лайки подписывайтесь на канал если ещё нет ну и до встречи в следующих видео пока-пока всем спасибо за то что вы поддерживаете мой канал [музыка] [музыка]
Эллипс (геометрич.) — это… Что такое Эллипс (геометрич.)?
- Эллипс (геометрич.)
- Эллипс, линия пересечения круглого конуса с плоскостью, встречающей одну его полость (рис. 1). Э. может быть также определён как геометрическое место точек М плоскости, для которых сумма расстояний до двух определенных точек F1 и F2 (фокусов Э.) этой плоскости есть величина постоянная. Если выбрать систему координат xOy так, как указано на рис. 2 (OF1 =OF2 = с), то уравнение Э. примет вид: ═ ═(*) ═ (2a = F1M + F2M, ). Э. ≈ линия второго порядка; она симметрична относительно осей AB и CD; точка О ≈ центр Э. ≈ является его центром симметрии; отрезки AB = 2a и CD = 2b называются соответственно большой и малой осями Э.; число е = с/а<1 ≈ эксцентриситет Э. (при е = 0, то есть при а = b, Э. есть окружность). Прямые, уравнения которых x = ≈а/е и х = а/е, называются директрисами Э.; отношение расстояния точки Э. до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету. Точки А, В, С, D пересечения Э. с осями Ox и Оу называются его вершинами. См. также Конические сечения.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.
- Эллины
- Эллипс (пропуск в речи)
Смотреть что такое «Эллипс (геометрич.)» в других словарях:
Эллипс (геометрич.) — Не следует путать с термином «Эллипсис». Эллипс и его фокусы Эллипс (др. греч. ἔλλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1… … Википедия
Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… … Большая советская энциклопедия
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ — линии, к рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трех типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а):линия пересечения… … Математическая энциклопедия
ЛИНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА — плоская линия, декартовы прямоугольные координаты к рой удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет… … Математическая энциклопедия
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК — понятие, иногда используемое в геометрии. Обычно под Г. м. т. понимают множество точек (образующих кривую или поверхность), выделяемых из всех точек пространства к. л. геометрич. требованием. Напр., эллипс может быть определен как Г. м. т.… … Математическая энциклопедия
ДАНДЕЛЕНА ШАРЫ — сферы, участвующие в геометрич. построении, к рое связывает планиметрич. определение эллипса, гиперболы или параболы со стереометрия. определением. Пусть, напр., в круговой конус вписаны две сферы (их и называют шарами Данделена), к рые касаются… … Математическая энциклопедия
КАРТОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — отображение всей поверхности земного эллипсоида или какой либо ее части на плоскость, получаемое в основном с целью построения карты. К. п. чертят в определенном масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в Мраз, получают его геометрич. модель… … Математическая энциклопедия
евклидовой геометрии — Найти геометрическое место точек, относящихся к эллипсу
евклидовой геометрии — Найти геометрическое место точек, относящихся к эллипсу — Mathematics Stack ExchangeСеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange- 0
- +0
- Авторизоваться Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществуКто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено 2k раз
$ \ begingroup $Я хочу найти уравнение следующего геометрического места.2u} $.
Создан 13 окт.
$ \ endgroup $ 3 $ \ begingroup $Решение найдено! Локус (u, v) очень сложен в v.{1/3} $
Создан 16 окт.
$ \ endgroup $ 1 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScriptВаша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
Круг и эллипс
Знакомство с кругами
Уравнение круга является продолжением формулы расстояния.
Цели обучения
Объясните, как уравнение круга описывает его свойства
Основные выводы
Ключевые моменты
- Окружность определяется как набор точек, находящихся на фиксированном расстоянии от центральной точки.
- Формулу расстояния можно расширить непосредственно до определения окружности, отметив, что радиус — это расстояние между центром окружности и краем.
- Общее уравнение для круга с центром [латекс] \ left (a, b \ right) [/ latex] с радиусом [latex] r [/ latex], является набором всех точек [latex] \ left (x , y \ right) [/ latex] такое, что [latex] \ left (x − a \ right) ^ 2 + \ left (y − b \ right) ^ 2 = r ^ 2 [/ latex].2 [/ латекс].
- круг : двумерная геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек на плоскости, которые одинаково удалены от другой точки.
- радиус : отрезок прямой между любой точкой на окружности круга и его центром.
Определение круга так же просто, как и его форма. Круг — это совокупность всех точек, находящихся на определенном расстоянии от центральной точки. Это определение дает нам понятие радиуса круга, который равен определенному расстоянию.
Поскольку мы знаем, что круг — это набор точек на фиксированном расстоянии от центральной точки, давайте посмотрим, как мы можем построить круг в декартовой координатной плоскости с переменными [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ латекс]. Чтобы найти формулу для этого, предположим, что центром является точка [latex] \ left (a, b \ right) [/ latex]. Согласно формуле расстояния, расстояние [латекс] c [/ латекс] от точки [латекс] \ left (a, b \ right) [/ latex] до любой другой точки [латекс] \ left (x, y \ right ) [/ latex] составляет:
[латекс] \ displaystyle {c = \ sqrt {\ left (x-a \ right) ^ 2 + \ left (y-b \ right) ^ 2}} [/ latex]
Если теперь возвести это уравнение в квадрат с обеих сторон, мы получим:
[латекс] \ displaystyle {c ^ {2} = \ left (x-a \ right) ^ {2} + \ left (y-b \ right) ^ {2}} [/ latex]
Помните, что расстояние между центром [латекс] \ left (a, b \ right) [/ latex] и любой точкой [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] на круге равно фиксированному расстоянию , который называется радиусом.{2}} [/ латекс]
Это общая формула для круга с центром [латекс] \ слева (a, b \ справа) [/ латекс] и радиусом [латекс] r [/ латекс]. Обратите внимание, что все, что мы сделали, это немного изменили уравнение формулы расстояния.
График круга: Круг с центром [латекс] \ слева (a, b \ справа) [/ латекс] изображен в декартовой плоскости.
Части круга
Теперь, когда у нас есть алгебраическая основа для круга, давайте свяжем его с тем, что мы уже знаем о некоторых различных частях круга.
Диаметр
Диаметр — это любая прямая линия, проходящая через центр круга. Он равен удвоенному радиусу, поэтому:
[латекс] d = 2r [/ латекс]
Окружность
Окружность — это длина пути по окружности. Алгебраически это дается как:
[латекс] c = 2 \ pi r [/ латекс]
или аналогично [latex] c = \ pi d [/ latex]. Число [латекс] \ пи [/ латекс] (пи) определяется этим соотношением. Это отношение длины окружности любого круга к его собственному диаметру.2 [/ латекс]
Обратите внимание, что радиус — единственный определяющий параметр для размера любого конкретного круга, и поэтому это единственная переменная, от которой зависит площадь.
Введение в эллипсы
Представьте себе уравнение эллипса как вытянутого круга.
Цели обучения
Соедините уравнение для эллипса с уравнением для круга с коэффициентами растяжения
Основные выводы
Ключевые моменты
- Эллипс и круг являются примерами конических сечений.2} = 1} [/ latex]
, когда большая ось эллипса горизонтальна.
Эллипс: Эллипс — это коническое сечение, образованное пересечением плоскости с прямым круговым конусом.
В большинстве определений конических сечений окружность определяется как частный случай эллипса, когда плоскость параллельна основанию конуса. Однако также можно начать с определения круга и использовать графические преобразования, чтобы прийти к общей формуле для эллипса.2 = 1 [/ латекс]
Чтобы превратить его в эллипс, мы должны исказить круглую форму так, чтобы она больше не была симметричной между [латексом] x [/ латексом] и [латексом] y [/ латексом]. Для этого мы вводим коэффициент масштабирования в одну или обе координаты
[латекс] x [/ латекс] — [латекс] y [/ латекс]. Давайте начнем с деления всех координат [latex] x [/ latex] на коэффициент [latex] a [/ latex] и, следовательно, масштабирования значений [latex] x [/ latex]. Мы просто подставляем [latex] \ displaystyle {\ frac {x} {a}} [/ latex] в уравнение вместо [latex] x [/ latex].2 = 1 [/ латекс].Каждое значение [latex] x [/ latex], которое решало старое уравнение, теперь должно быть умножено на [latex] a [/ latex], чтобы решить новое уравнение. Это приводит к растягиванию эллипса дальше по оси [latex] x [/ latex], потому что теперь решениями являются большие значения [latex] x [/ latex].
Точно так же мы можем масштабировать все значения [latex] y [/ latex] на коэффициент [latex] b [/ latex] (мы также предполагаем, что [latex] b> 1 [/ latex]). 2 = 1} [/ latex]
Теперь все значения [latex] y [/ latex] растянуты по вертикали, дальше от начала координат.2} = 1} [/ latex]
, что в точности соответствует уравнению горизонтального эллипса с центром в начале координат.
Если бы мы использовали коэффициенты масштабирования меньше единицы, форма сжалась бы вместо того, чтобы растягивать ее дальше.
Части эллипса
Эллипсы — это один из видов конических сечений. Особенности эллипса можно определить из его уравнения.
Цели обучения
Обсудите, как уравнение эллипса описывает его свойства
Основные выводы
Ключевые моменты
- Эллипс образован плоскостью, пересекающей конус под углом к его основанию.
- Все эллипсы имеют две точки фокусировки. Сумма расстояний от каждой точки эллипса до двух фокусов является постоянной величиной.
- У всех эллипсов есть центр, большая и малая оси.
- Все эллипсы имеют значения эксцентриситета больше или равные нулю и меньше единицы. 2} = 1} [/ латекс ]
, если эллипс ориентирован вертикально.Мы будем использовать горизонтальный случай, чтобы продемонстрировать, как определить свойства эллипса из его уравнения, так что [latex] a [/ latex] связан с координатами x, а [latex] b [/ latex] — с координатами y. . Для вертикального эллипса связь обратная.
Схема эллипса: На этой схеме горизонтального эллипса показан сам эллипс красным цветом, центр [латекс] C [/ латекс] в начале координат, точки фокусировки [латекс] \ left (+ f, 0 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (-f, 0 \ right) [/ latex], вершины главной оси в [latex] \ left (+ a, 0 \ right) [/ latex] и [latex ] \ left (-a, 0 \ right) [/ latex], вершины малой оси в [latex] \ left (0, + b \ right) [/ latex] и [latex] \ left (0, -b \ справа) [/ латекс].Он также показывает, как сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов является постоянной на [латексе] 2а [/ латексе] (длина большой оси), и как эксцентриситет определяется соотношением расстояние от точки эллипса до одного из фокусов до перпендикулярного расстояния от точки до линии [латекс] D [/ латекс], называемой директрисой, вне эллипса и перпендикулярно главной оси.
Части эллипса
Центр
Центр эллипса имеет координаты [латекс] (h, k) [/ латекс].
Основная ось
Большая ось эллипса — это наибольшая ширина по его ширине. Для горизонтального эллипса эта ось параллельна оси [latex] x [/ latex]. Большая ось имеет длину [латекс] 2а [/ латекс]. Его конечными точками являются вершины большой оси с координатами [latex] (h \ pm a, k) [/ latex].
Малая ось
Малая ось эллипса — это самая короткая ширина по нему. Для горизонтального эллипса он параллелен оси [latex] y [/ latex]. Малая ось имеет длину [латекс] 2b [/ латекс].2 [/ латекс]
Эксцентриситет
Все конические секции имеют значение эксцентриситета, обозначенное [латекс] е [/ латекс]. Все эллипсы имеют эксцентриситет в диапазоне [латекс] 0 \ leq e <1 [/ латекс]. Нулевой эксцентриситет - это частный случай, когда эллипс превращается в круг. Эксцентриситет [латекса] 1 [/ латекса] - это парабола, а не эллипс.
Эксцентриситет определяется как:
[латекс] \ displaystyle {e = \ frac {c} {a}} [/ latex]
или, что эквивалентно:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} e & = \ frac {\ sqrt {a ^ 2 — b ^ 2}} {a} \\ & = \ sqrt {\ frac {a ^ 2 — b ^ 2 } {a ^ 2}} \\ & = \ sqrt {1 — \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ end {align}} [/ latex]
Орбиты планет и их спутников представляют собой эллипсы с очень малым эксцентриситетом, то есть почти круглые. 2 [/ latex], где [latex] r [/ латекс] — это радиус, а [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex] — координата центральной точки.2} = 1} [/ latex], где [latex] \ left (h, k \ right) [/ latex] — координата центральной точки, [latex] 2a [/ latex] — длина большой / малой оси , а [латекс] 2b [/ латекс] — длина малой / большой оси.
- Если [latex] a> b [/ latex], большая ось параллельна оси [latex] x [/ latex]. Если [latex] a
- Чтобы определить параметры круга или эллипса, необходимо сначала привести уравнение в стандартную форму.
Ключевые термины
- эллипс : замкнутая кривая, геометрическое место точки, при котором сумма расстояний от этой точки до двух других фиксированных точек (называемых фокусами эллипса) постоянна; эквивалентно, коническое сечение, которое является пересечением конуса с плоскостью, которая не пересекает основание конуса.
- круг : двумерная геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек на плоскости, которые одинаково удалены от другой точки.
Круги повсюду вокруг вас в повседневной жизни, от шин на машинах до пуговиц на пальто, а также на крышках мисок, стаканов и бутылок с водой. Эллипсы встречаются реже. Одним из примеров являются орбиты планет, но вы должны уметь найти площадь круга или эллипса или длину окружности на основе информации, предоставленной вам в задаче. Круги и эллипсы являются примерами конических сечений, которые представляют собой кривые, образованные пересечением плоскости с конусом.
Ниже показаны некоторые примеры проблем с разработанными решениями.
Упражнение 1
Допустим, вы садовник и только что посадили много цветов, которые хотите полить. Клумба имеет ширину 15 футов и длину 15 футов. Вы используете круговую спринклерную систему, и вода достигает 6 футов от центра. Спринклер расположен от нижнего левого угла кровати на высоте 7 футов и 6 футов выше.
- Если бы клумба представляла собой график с левым нижним углом в начале координат, каким было бы уравнение круга?
- Какую площадь поливает спринклер?
- Какой процент площади сада поливается?
Ответ
Если нижний левый угол является началом координат, он имеет координаты [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex].2 \\ & = 36 \ pi \ end {align}} [/ latex]
Первый шаг к определению процентной доли поливаемого сада — это проверить, не падает ли вода за пределы сада. Спринклер находится в координате [латекс] \ влево (6,7 \ вправо) [/ латекс], а радиус разбрызгивателя составляет 6 футов. Вы можете проверить, не падает ли вода за пределы сада [латекс] 15 \ раз 15 [/ латекс].
Как только мы узнаем, что поливаемая площадь полностью находится внутри сада, процент поливаемой площади сада можно определить, разделив поливную площадь на общую площадь сада, а затем умножив на [латекс] 100 \%. [/ латекс]:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} Percentage_ {watered} & = \ frac {A_ {sprinkler}} {A_ {цветочная клумба}} \ cdot 100 \% \\ & = \ frac {36 \ pi} { 15 ^ 2} \ cdot 100 \% \\ & = \ frac {113. 2} {9}} [/ latex], разделив верхнюю и нижнюю части дроби на [latex] 4 [/ latex].2 = 1 [/ латекс].
Локус и эллипс
Читатель из Чили недавно поделился со мной замечательной историей.
Раулю 85 лет, и более 60 лет его мучил вопрос, который профессор задал ему во время устного экзамена. Я позволю Раулю рассказать свою историю, которая показывает отличное свидетельство веб-смекалки.
В конце 1941 года на устном экзамене мой уважаемый профессор Дон Рауль Вальдивьесо поднял следующий вопрос:
«Найдите геометрическое место центра эллипса, который движется по касательной к положительным осям x и y.«
После краткого размышления я вспомнил задачу, поставленную в Course Geometry Plana (1940 год) выдающимся профессором Доном Лучано Клодом, которая гласила:
«Найдите геометрическое место точки пересечения двух прямых ортогональных линий, которые касаются данного эллипса».
Решение этой проблемы, которое легко найти в любом договоре о кониках, представляет собой концентрический круг к эллипсу с радиусом, равным:
√ (a 2 + b 2 ), где a и b — полуоси эллипса.
Пояснение: «Ортогональный» означает «под прямым углом», и когда мы перемещаем пару ортогональных линий по эллипсу так, чтобы они касались эллипса в одной точке (они касались), точка пересечения образует круг:
Вот полученный круг, который концентричен эллипсу (это означает, что у него тот же центр).
Вернуться к истории Рауля:
Таким образом, легко сделать вывод, что обратная задача этой задачи состоит в том, чтобы рассматривать ортогональные прямые касательные как фиксированные и эллипс , заданный как подвижный , возвращаясь к проблеме профессора Вальдивьесо.
Очевидно, геометрическое место будет частью дуги окружности.
Однако профессор Вальдивьесо, даже признав, что это хорошее решение, потребовал, чтобы я пошел по длинному пути, а именно к аналитической геометрической дедукции, как и изначально просил.
Результат: Такого решения найти не удалось.
Прошли годы, и мои попытки найти решение, используя метод, который меня просили, были тщетны. Несколько коллег, с которыми я консультировался, не смогли решить эту проблему.
Итак, уже на пенсии и приближаясь к исполнению 85 лет, я вернулся к этому вопросу. Google Scholar не помог мне найти то, что я искал. Наконец, воспользовавшись Центральной библиотекой Католического университета и вспомнив те старые хрупкие, но необычные французские книги, я нашел то, что искал, в Lecons de Géométrie analytique . Автор: Шарль Роге. Год издания 1860. Страница 218.
Нам нужно разрешить ранее указанный локус, чтобы развить:
РАЗДЕЛ (A) уравнение касательной к эллипсу и
РАЗДЕЛ (B) Уравнение расстояния от заданной точки до заданной прямой.
Далее следует довольно объемный анализ с использованием характеристик конических сечений.
Итак, уважаемый Читатель, можете ли вы решить эту проблему, учитывая приведенные выше подсказки?
Конечным результатом является красная дуга, которую вы видите на следующей диаграмме (желтая и зеленая кривые не имеют отношения к этой проблеме, хотя и интересны):
Источник изображения: MathCurve.
Рауль закончил свою заметку следующим образом: , поставив перед собой задачу найти более простое решение, чем его 4 страницы алгебры:
Вот и все.По сей день я не могу объяснить, что профессор Рауль Вальдивьесо ожидал, что у любого студента может возникнуть эта проблема на экзамене или в любых других обстоятельствах.
Есть ли более простое решение? Осмелюсь предположить, что он должен быть, потому что уважаемый профессор был очень требовательным, но очень внимательным и справедливым.
Раэль Эспиноза Веллманн, инженер-строитель, Папский университет Чили.
Спасибо, Рауль, за интересный рассказ и за доказательства того, что хорошо сформулированная проблема проста в формулировании и мотивирует на долгие годы.
Обновление: Читатель запросил полное решение, и вот. Думаю, вы согласитесь, что это необычный вопрос для экзамена!
Локус эллипса [документ MS Word]
См. 3 комментария ниже.
конических сечений
конических сечений
Учебный блок на Conic Разделы по Джун ДжонсЭтот блок выполнен в виде набора для исследований вместе с предысторией. и историческая информация, чтобы дополнить главу 8 — Темы аналитического Геометрия Колледж алгебры и тригонометрии Ауфманн и Нэйшн.(Это двухнедельный блок математики 115 — Precalculus Trigonometry в Macon Колледж.) Фигуры были созданы здесь с помощью Sketchpad и Algebra. Xpresser. В моих планах доработать устройство, чтобы использовать TI-82, Maple и любые другие. другое программное обеспечение, которое может быть доступно моему классу, в следующий раз, когда я буду преподавать этот курс.
ВВЕДЕНИЕ
По определению, «геометрическое место точек — это геометрическая фигура, содержащая все точки и только те точки, которые удовлетворяют заданному условию или набор условий.»Это также может быть» путь, если движущаяся точка удовлетворяющие заданному условию «.
Декарт обнаружил, что графики уравнений второй степени от двух переменных всегда попадают в одну из семи категорий:
[1] одна точка, [2] пара прямых, [3] окружность, [4] парабола, [5] эллипс, [6] гипербола и [7] вообще никакого графа.
Сначала мы рассмотрим четыре локуса: круг, эллипс, гиперболу и парабола, известная как невырожденные конические сечения с геометрической точки зрения.
I. Геометрические конструкции:
Из-за характера курса этот раздел будет строго неформальным. изучение.
Начнем с построения круга. Круг — это набор точек в плоскости, находящейся на фиксированном расстоянии от указанной точки. Вместо обычный компас или выбор круга из меню GSP, начните с точки «C» для центра (фокуса) и данного сегмента CP.Случайно углов, нарисуйте сегменты CP, CP ‘, CP «, CP»‘ и т. д. вокруг точки С.
Вы еще не уверены, что все буквы P лежат на круге? Используйте функцию GSP соединить дугу через 3 точки по кругу, чтобы соединить все буквы P.
Эллипс — это геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух неподвижные точки постоянны.Обозначьте неподвижные точки как A и B (это фокусы) и используйте GSP для создания эллипса. Вы можете экспериментировать самостоятельно, или нажмите здесь , чтобы отобразить эллипс, уже создан. Один пример показан ниже. Вы найдете это, когда вы переместите фокус B, сумма останется прежней.
Когда вы переместите фокус в B вверх, вы обнаружите, что эллипс имеет стать гиперболой.Посмотрите на свой образец измерения и убедитесь, что это в соответствии с определением гиперболы.
Парабола — это совокупность всех точек на плоскости, каждая из которых множество равноудалено от прямой, называемой директрисой, и фиксированной точки называется фокус. Попробуйте создать параболу, используя определение, или нажмите здесь поэкспериментировать с тем, что уже есть нарисовано. Пример показан ниже:
II.Алгебраическая — прямоугольная
По определению: если A, B, C, D, E и F — действительные числа, и если хотя бы один из A, B и C не равен 0, тогда
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
называется общим от уравнения второй степени по x и y.
Расследований:
1.) Пусть D = E = F = 0. Измените значения A, B и C, чтобы учесть следующие случаи: B2 — 4AC <0, B2 - 4AC = 0 и B2 - 4AC> 0. Определить какие коники попадают в каждую категорию.
Например: возьмем B2 — 4AC <0. Пусть A = [1,5], B = 0, c = [1,5]. В виде пока A и C имеют одинаковый знак и B = 0, коника вырождена, она становится точкой.
2.) Пересмотрите каждый случай для B2 — 4AC, но на этот раз измените значения D, E и F.
Например: возьмем B2 — 4AC = 0. Пусть A = {-5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5}, E = 2, B = C = D = F = 0. Результатом является семейство парабол, которые симметричны относительно оси y.
Рассмотрим теперь уравнение вида
, где (h, k) — это «центр», а a и b — действительные числовые константы.
Расследований:
1.) Пусть (h, k) = (0,0) и a = b для различных a и b. Какой тип фигура, вы получаете «+» и какой тип вы получаете с «-«?
2.) Оставить (h, k) = (0,0), но установить a> b. Что происходит с «+» и «-» на этот раз?
Например: X2 / a2 + y2 / b2 = 1, для a = 2 и b = 1, тогда a = 5 и b = 2, и, наконец, a = 6 и b = 4.
Мы получаем семейство эллипсов с большой осью на оси x.
3.) Теперь попробуйте другие случаи и комбинации случаев, т.е. a
Определение локусаIII. Полярный
Полярная форма коники определяется точкой, директрисой и положительное отношение действительных чисел, известное как эксцентриситет.
Рассмотрим:
Расследований:
Для каждого из следующих исследований пусть e = 1, e <1, e> 1.
1.) Измените p, используя сначала сумму в знаменателе, а затем разница.
2.) Что произойдет, если вы измените косинус на синус, сохраняя другие переменные исправлены?
Например: для e = 1, p = 2 и «+» в знаменателе.
Слева внизу показано: r = 2 / (1 + sin x).
Справа внизу: r = 2 / (1 + cos x)
Оба являются параболами. Когда знаменатель содержит синусоидальный член, директриса горизонтальна.Член косинуса определяет вертикальную директрису.
3.) Вы должны были обнаружить, что приведенная выше форма определяет только парабола, гипербола и эллипс. Напишите уравнение круга, используя полярные координаты. координаты.
IV. Параметрическая форма
Напомним общее определение параметрических уравнений:
Пусть t будет числом из интервала I.Кривая — это набор упорядоченных пар (x, y), где x = f (t) и y = g (t) для t, элемента в I. Переменная t называется параметром, а уравнения x = f (t) и y = g (t) являются параметрическими уравнения.
Параметрические уравнения особенно полезны при описании графика, который это не функция. Однако они все еще могут быть полезны, когда график представляет собой функция.
Расследований:
1.) Рассмотрим x = a (sin t) и y = b (cos t) для различных значений a и b, где a не равно b. Постройте график и опишите результаты.
2.) Рассмотрим вышеупомянутый случай, когда a = b.
3.) Изобразите график и обсудите: x = t2 и y = t.
4.) На этот раз измените №3 так, чтобы у t были коэффициенты, т.е. x = a (t2) и y = b (t). Попробуйте случаи с a = b, a b.
5.) Опишите, что происходит, когда переменные меняются местами на x = a (t) и y = б (т2).
6.) Теперь попробуйте написать набор параметрических уравнений для представления гиперболы.
Дополнительные развлечения:
1.) График y = (наибольшее целое число x) / (абсолютное значение x) на [-5,5].
Объясните, что вы видите, затем посмотрите на равносторонние гиперболы и закончите. объяснение.
2.) Будет ли иметь смысл бильярдный стол в форме круга или эллипса? Почему или почему нет?
Рекомендации по чтению и составлению отчетов:
Многие математические открытия развиваются со временем.Греческий геометр Аполлоний (ок. 225 г. до н. э.) написал исчерпывающий трактат по исследованию кривые, обсуждаемые здесь в конических сечениях . Ему приписывают вводя термины «эллипс», «парабола» и «гипербола». Первоначальный смысл сравнил основание геометрической фигуры построено к длине данного сегмента. Эллипс означал дефект, гипербола означала избыток и парабола, «размещение рядом».
Кривые представляли интерес для древних геометров для использования при испытании для решения задач построения квадрата круга, удвоения квадрата, и деление угла пополам.Математикам потребовалось почти 1800 лет. увидеть их практическое применение.
Выберите математика по теме из следующего списка для дальнейшего изучения:
1.) Аполлоний 7.) Менехм
2.) Archytas 8.) Pappus
3.) Декарт 9.) Паскаль
4.) Евклид 10.) Пифагор
5.) Гипатия 11.) Рамануджан
6.) Кеплер
12.) удвоение квадрата
13.) квадрат круга
14.) деление на три угла
Приложения Ellipse:
15.) Эллиптические шестерни для станков
16.) оптика
17.) орбита планеты с Солнцем в фокусе
18.) орбиты лун, спутников и комет
19.) луч, исходящий из одного фокуса, отражается в другой
20.) шепчущая галерея
приложений Hyperbola:
21.) путь кометы
22.) конструкция шестерни
23.) навигация
24.) телескопические линзы
Приложения Parabola:
25.) антенна радиотелескопа
26.) трос подвесного моста
27.) фонарики
28.) параболический отражатель
29.) путь снаряда
30.) солнечная печь
Количество баллов: определение, методы и примеры — видео и стенограмма урока
Геометрическое место точек и уравнения
Геометрическое место точек обычно приводит к кривой или поверхности.Например, в нашем примере с пешим туризмом геометрическое место точек в 5 милях от нашей отправной точки привело к кривой, представляющей собой круг. Как мы обычно представляем кривые алгебраически? Если вы думаете, что мы используем уравнение, вы совершенно правы.
Оказывается, решения уравнения являются примером геометрического места точек, потому что эти решения представляют собой набор точек, которые удовлетворяют свойству, заключающемуся в том, что они делают уравнение истинным. Например, если мы позволим нашей начальной точке быть началом координат в системе координат, тогда набор всех точек, находящихся на расстоянии 5 миль от этой точки, составит круг, который представлен уравнением x 2 + y 2 = 25 .
Следовательно, наше геометрическое место точек можно описать как набор точек, находящихся на расстоянии 5 миль от нашей начальной точки, или как набор точек, удовлетворяющих уравнению x 2 + y 2 = 25, если мы позволяем нашей отправной точке быть точкой (0,0).
Другие примеры геометрического места точек
Поскольку геометрическое место точек — это просто набор точек, удовлетворяющих некоторым условиям или свойствам, существует множество различных примеров этой математической концепции.Давайте рассмотрим еще несколько примеров из них, чтобы мы могли действительно укрепить наше понимание концепции.
Возможно, вам знаком эллипс. Эллипс — это двухмерная форма, которая выглядит как круг, немного растянутый по горизонтали или вертикали. Однако вы можете не знать, что мы можем формально определить эллипс как набор точек, так что сумма расстояний от двух точек, называемых фокусами, одинакова для каждой точки в наборе.
Мы только что определили эллипс как набор точек, удовлетворяющих определенному свойству, так что это звонит в какие-то колокола? Ах! Да, эллипс — это геометрическое место точек, удовлетворяющих тому свойству, что сумма расстояний от точки до каждого из фокусов эллипса постоянна.Довольно аккуратно, да?
Хорошо, давайте рассмотрим другой пример. Предположим, что во время похода мы путешествуем таким образом, что преодолеваем 3 мили каждый час. Теперь рассмотрим геометрическое место точек ( x , y ), где x — это количество часов, которое мы проехали, а y — это общее расстояние, которое мы преодолели. Поскольку наше расстояние увеличивается на 3 мили за каждый час пути, некоторые точки, которые будут в этом локусе, будут следующими:
(0,0)
(1,3)
(2,6)Любые идеи о том, как представить это геометрическое место точек с помощью уравнения?
Хммм, если y — это пройденное расстояние, x — это количество часов, которые мы прошли, и мы покрываем 3 мили в час, тогда имеет смысл смоделировать наше общее пройденное расстояние, используя уравнение y = 3 x .Поскольку геометрическое место точек удовлетворяет именно этому свойству, это наше уравнение представляет собой геометрическое место точек.
Мы также можем найти это уравнение, ища паттерн в точках (0,0), (1,3) и (2,6), которые, как мы сказали, находятся в этом локусе. Обратите внимание, что каждая координата y в этих точках в 3 раза больше координаты x в этих точках. Это говорит нам, что y = 3 x , и мы снова видим, что у нас есть уравнение, которое мы можем использовать для представления нашего геометрического места точек.
Это говорит нам о том, что мы идем с постоянной скоростью, и любая точка в этом локусе говорит нам, как далеко мы прошли, в зависимости от того, как долго мы идем. Вау, кто бы мог подумать, что расположение точек может так много рассказать?
Резюме урока
Давайте кратко рассмотрим то, что мы узнали. В математике геометрическое место точек — это набор точек, которые все удовлетворяют определенному условию или свойству. Некоторые примеры местоположения точек — это множество всех точек на одинаковом расстоянии от точки; множество всех точек, удовлетворяющих заданному уравнению; или набор всех точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от двух заданных точек.
Из-за определения геометрического места точек существует много разных способов, которыми эта математическая концепция может проявляться в окружающем нас мире. Теперь, когда мы знакомы с этой концепцией, мы можем наблюдать вещи в нашей повседневной жизни иначе, чем раньше, и это лишь часть красоты математики.
Локус — Cuemath
В этом мини-уроке мы собираемся узнать об определении локуса вместе с некоторыми примерами локуса.
Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца по эллиптической орбите.
Эта эллиптическая орбита образована соединением положений Земли в разных точках.
Вы можете увидеть это на следующем рисунке.
Кривая, соединяющая все положения Земли, в этом случае называется геометрическим местом.
EV Каждый геометрический объект (кривая) связан с уравнением, которое называется уравнением геометрического места.
Кривая и ее уравнение зависят от данной задачи геометрического места.
У нас есть формула годографа, чтобы найти его уравнение? Посмотрим.
План урока
Что означает локус?«Локус» в основном означает форму или кривую.
Мы знаем, что любая форма или кривая образована набором точек.
Итак, «Локус» — это набор точек.
В математике геометрическое место — это набор точек, удовлетворяющих набору правил.
Что такое геометрическое место точек?Геометрическое место точек — это кривая или линия в двухмерной геометрии.
ПримерРассмотрим отрезок прямой \ (\ overline {AB} \).
Найдем геометрическое место всех точек, равноудаленных от A и B.
Разместим все точки так, чтобы каждая точка была равноудалена от A и B.
Соедините все такие точки линией. Результирующая прямая — серединный перпендикуляр к \ (\ overline {AB} \).
Таким образом, геометрическое место всех точек, равноудаленных от A и B, является серединным перпендикуляром к \ (\ overline {AB} \).
Что такое Локус круга?Геометрическое место множества всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки, называется окружностью.
Здесь,
- Фиксированная точка называется «центром» окружности
- Фиксированное расстояние называется «радиусом» окружности
Не только точки, отмеченные синим цветом, но и бесконечное количество точек на окружности (локусе).
Некоторые другие примеры локуса упоминаются в следующих «Важных примечаниях».«
Важные примечания
- Геометрическое место всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки, представляет собой окружность.
- Геометрическое место всех точек, которые равноудалены от двух точек, является серединным перпендикуляром отрезка прямой, соединяющего данные две точки.
- Геометрическое место всех точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла, образованного этими прямыми.
Точки годографа — это точки на кривой (или) линии, которая связана с годографом.
Каждый локус связан с уравнением, и давайте посмотрим, как его найти.
Формула локусаНет специальной формулы для поиска локуса.
Вот шаги, чтобы найти геометрическое место точек в двумерной геометрии,
- Предположим любую случайную точку \ (P (x, y) \) на геометрическом месте.
- Напишите уравнение в зависимости от данного условия.
- Упростите его, чтобы получить уравнение геометрического места.
Найдите геометрическое место точки, которая находится на расстоянии 4 единиц от точки \ ((- 3, 2) \) в плоскости xy.2 + 6x-4y-3 = 0 \]
Решенные примеры на локусеВот еще несколько примеров локуса.
Можем ли мы помочь Аве найти уравнение геометрического места точки, которая равноудалена от точек \ (A (-2, 0) \) и \ (B (3, 2) \)?
Что в данном случае представляет уравнение геометрического места?
Решение
Предположим, что \ (P (x, y) \) — точка на данном геометрическом множестве.
Затем, используя данное условие,
Расстояние от P до A = Расстояние от P до B.2–4 года + 4 \ [0,2 см]
10x + 4y-9 & = 0
\ end {align} \)Приведенное выше уравнение представляет собой прямую линию, поскольку это линейное уравнение с двумя переменными.
Таким образом, уравнение геометрического места:
\ (10x + 4y-9 = 0 \), которая является линией.
Можем ли мы помочь Миа найти уравнение геометрического места точки, в которой сумма расстояний от \ ((0, -1) \) до \ ((0, 1) \) равна 3.
Что представляет собой уравнение?
Решение
Предположим, что \ (P (x, y) \) — точка на данном геометрическом множестве.
Даны следующие точки: \ [A = (0, -1) \\ [0,2 см] B = (0,1) \]
Затем, используя данное условие,
Расстояние от P до A + Расстояние от P до B = 3
Получаем:
\ (\ begin {align}
PA + PB & = 3 \ [0,2 см]
PA & = 3-PB \ [0,2 см]
\ text {Квадрат} & \ text {с обеих сторон}, \\ [0.2 = 45 \), который представляет собой эллипс.Можем ли мы помочь Джеймсу найти уравнение геометрического места точки, которая равноудалена от точки \ ((- 1, 2) \) и оси y?
Что представляет собой уравнение?
Решение
Предположим, что \ (P (x, y) \) — точка на данном геометрическом множестве.
Затем, используя данное условие,
Расстояние от P до \ ((- 1,2) \) = Расстояние от P до оси y.2-4y + 2x + 5 = 0 \), которая является параболой.
Интерактивные вопросы по LocusВот несколько занятий для вас.
Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.
Сложные вопросы
- Две вершины треугольника ABC — это A (-3, 5) и B (1, 2).Найдите геометрическое место третьей вершины C, такое, что площадь треугольника ABC равна 10 квадратным единицам.
- Найдите уравнение геометрического места точки P, если отрезок прямой, соединяющий (-1, 2) и (3, -2), образует прямой угол в точке P.
Этот мини-урок был посвящен увлекательной концепции локуса. Математическое путешествие по локусу начинается с того, что ученик уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах.Сделано таким образом, чтобы оно не только было понятным и понятным, но и навсегда осталось с ними. В этом заключается магия Куэмат.
О компании CuemathВ Cuemath наша команда математиков стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!
Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон.
Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, это логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению, в который мы, в Cuemath, верим.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)1. Каково геометрическое место точки, равноудаленной от вершин треугольника?
Есть только одна точка, которая равноудалена от всех вершин треугольника, это центр окружности треугольника.
2. Каково геометрическое место прямой?
Географическое место является прямой линией, если наклон всех двух точек на ней одинаков.
3. Как вы строите локус?
Мы можем построить локус, размещая и объединяя все точки, полученные с помощью заданных правил / условий.
Доказательство правильности нашего определения эллипса и гиперболы
Доказательство того, что наши определение эллипса и гиперболы правомерно.
Чтобы что-то доказать, нужно всегда знать, что это то, что вы пытаетесь доказать. В этом случае мы можем начать с эллипса, а затем перейти к гипербола.
Мы утверждаем, что эллипс может быть построен с помощью нахождение геометрического места всех точек, равноудаленных между точкой внутри круга и любая точка на этом круге. Первоначально мы начали этот процесс с построения рисунок, который можно использовать, чтобы показать, что это правда. Пример этой диаграммы показан ниже:
В этой конструкции точка C представляет точку на внутри круга, а точка D представляет собой точку на окружности, которая может быть перемещенным в любое место круга (с центром A).Точка E — это середина сегмента CD. а зеленая линия, пересекающая E, — серединный перпендикуляр к сегмент CD. Моя первоначальная мысль была что точка E, которая находилась на пересечении отрезка CD и его серединный перпендикуляр, была точка, равноудаленная между точкой C и точкой на окружности D, которую можно использовать как геометрическое место всех точек для определения нашей эллипс. Это предположение было правильным в том смысле, что E, как биссектриса отрезка CD, всегда будет равноудалены от C и D по определению, но когда геометрическое место точек E было взятых, он не отвечал требованиям для определения его как эллипса традиционное определение: Эллипс — Геометрическое место всех точек, таких что, учитывая любые две точки, сумма длин отрезков, образованных соединение каждой точки с одной и той же точкой является постоянным.Если взять за эту точку пересечения точку E, а наши два исходные точки берутся как C и A (центр круга), чем длина сегмента CE плюс длина сегмента AE будет постоянным значением. Как показано в примерах ниже, то есть не тот случай.
С этой неудачей пришла задача найти точку, которая равноудалены от точек C и D, которые также отвечали требованиям традиционное определение эллипса, упомянутое ранее.Я обнаружил, что геометрическое место точек на серединном перпендикуляре отрезка CD (зеленая линия) будет равноудалены точкам C и D (доказательство показано ниже)
Дана точка G на серединном перпендикуляре отрезка CD, созданы два треугольника. Треугольник GEC и треугольник GED. Поскольку E биссектриса отрезка CD, DE конгруэнтна CE. Поскольку прямая EG является серединным перпендикуляром отрезка CD, обе угол GEC и угол GED являются прямыми углами и, следовательно, конгруэнтны.И поскольку оба треугольника разделяют сегмент GE со стороны GE соответствует GE. Следовательно, треугольник GEC конгруэнтен треугольнику GED по боковому углу Боковое свойство равных треугольников. Можно сделать вывод, что сегмент GD конгруэнтен сегменту GC, потому что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны. Следовательно, любая точка на биссектриса EG будет равноудалена от точек C и D.
Следующей задачей было найти точку на перпендикулярная биссектриса, что также отвечало требованиям традиционного определение эллипса.После долго размышляя, я понял, что значение, которое я мог бы использовать в качестве константы, будет радиус круга. Я также понял, что я могу построить линию через точку D и точку A, которая будет служат представлением радиуса круга, и что Серединный перпендикуляр пересекал этот радиус. На этом пересечении я построил точку F.
Поскольку F равноудалена точкам C и D, это верно для моего новое определение эллипса.Y приведенное ниже доказательство справедливо и для традиционного определения эллипс.
Для моего предположения, что геометрическое место всех точек равноудалено чтобы точки C и D (представленные точкой F) образовали эллипс, необходимо Верно, что сумма длин отрезка AF и отрезка CF будет постоянным.
Итак, радиус AD = постоянное значение.
Радиус AD = сегмент AF + сегмент FD
Так путем замены
Сегмент AF + Сегмент FD = Постоянное значение
Мы уже доказали, что CF соответствует DF, поэтому замена, можно констатировать
Сегмент AF + сегмент CF = Постоянное значение.
Этим заявлением мы выполнили требования традиционное определение эллипса. Следовательно, наше новое определение эллипса действительно.
Теперь о доказательстве нашего нового определения гиперболы. (если вам еще не слишком скучно читать).
Наше новое определение гиперболы — это геометрическое место всех точек. на равном расстоянии от точки за пределами круга и любой точки на этом круге.
Чтобы сократить объем написания, мы будут использовать рассуждения почти так же, как в предыдущем примере, поэтому вот традиционное определение гиперболы:
Вот наша конструкция:
Здесь также применимы все правила из предыдущего доказательства.Линия EF — это серединный перпендикуляр сегмента CD. По доказательству в В предыдущем примере F равноудалена точкам C и D, поэтому по этой конструкции наше новое определение будет верным. Чтобы традиционное определение оставалось верным, разница между длины отрезка CF и отрезка AF постоянны. Вот тому доказательство:
Радиус AD = постоянное значение
Радиус AD = сегмент FD — сегмент AF
Путем замены
Сегмент FD — Сегмент AF = Постоянное значение
Так как F равноудалена точкам C и D, отрезок CF соответствует сегменту FD
Путем замены
Сегмент CF — Сегмент AF = Постоянное значение.
Этим утверждением мы показали, что эта конструкция отвечает традиционным требованиям гиперболы.
Добавить комментарий