Эллипсом: ЭЛЛИПС • Большая российская энциклопедия
Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
,
где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
,
где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b, то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a, а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a, если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy.
Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5, меньшая полуось — это b = 4. Получаем каноническое уравнение эллипса:
.
Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где
,
называются фокусами.
Число
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5,
— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат — каноническое уравнение эллипса:
.
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения
эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса
.
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
.
Получаем фокусы эллипса:
Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2 a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).
Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .
Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:
.
Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:
Уравнение эллипса готово:
Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.
Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:
.
Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.
Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:
Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.
,
так как из исходного уравнения эллипса .
Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.
Поделиться с друзьями
Другие материалы по теме Кривые второго порядка
28. Эллипс — Контрольные работы по математике и другим предметам!
Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и есть величина постоянная (большая, чем расстояние между и).
Точки и называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через , а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через , имеем . Если это условие не выполнено, то рассматриваемое множество точек либо отрезок прямой, заключенной между фокусами, либо не содержит ни одной точки.
Из определения эллипса вытекает следующий метод его построения: если концы нерастяжимой нити длины закрепить в точках и и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами и и с суммой расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов, равной
Рис. 7.1.
Составим уравнение эллипса. Для этой цели расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось походила через фокусы и , положительное направление оси – от к , начало координат выберем в середине отрезка . Тогда координаты точек и будут соответственно и .
Пусть ‑ произвольная точка эллипса, тогда:
,
.
По определению эллипса . Подставляя сюда значения и , имеем:
|
(7.1) |
Уравнение (1) и есть уравнение эллипса. Преобразуя, упростим его:
Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим: .
Возведем еще раз обе части в квадрат и приведем подобные члены. Получаем или
|
(7.2) |
Положительную величину обозначим через . Тогда уравнение (7.2) примет вид:
|
(7.3) |
Оно называется Каноническим уравнение эллипса.
Координаты точек эллипса ограничены неравенствами . Значит, эллипс ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами и :
Заметим, что в уравнение (7.3) входят лишь четные степени и . Поэтому, если точка принадлежит эллипсу, то и точки , , также ему принадлежат. А это означает, что эллипс – линия симметричная относительно координатных осей и .Поэтому для исследования формы эллипса достаточно рассмотреть его в первой координатной четверти, а в остальных четвертях его строение определяется по симметрии. Для первой четверти, из уравнения (7.3) имеем:
|
(7.4) |
При возрастании от до , монотонно убывает от до . График функции изображен на Рис. 7.4.
Рис. 7.4
Достроив остальные четверти эллипса по симметрии, получим весь эллипс (Рис. 7.5).
Оси симметрии эллипса (оси и ) называются просто его осями, а центр симметрии – точка ‑ центром эллипса. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки и , а также их длины и называются полуосями эллипса. В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси (как в нашем случае), из равенства , следует, что . В этом случае называется большой полуосью, а ‑ малой.
Если , то уравнение (7.3) можно переписать в виде:
|
(7.5) |
Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси . Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат . Тогда преобразование, переводящее произвольную точку в точку , координаты которой задаются формулами , будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением .Число называется Эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым (Фокальными радиусами точки эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и. Их длины и задаются формулами и . Прямые называются Директрисами эллипса. Директриса называется левой, а ‑ правой. Так как для эллипса , то и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.
Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т. е. .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Эллипс — Простая математика
Э́ллипс — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.
Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.
Связанные определения:
- Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
- Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
- Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.{2}}}=1.}
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.
Уравнения в параметрической форме
- {\displaystyle {\begin{cases}x=a\,\cos t\\y=b\,\sin t\end{cases}}\;\;\;0\leqslant t\leqslant 2\pi ,}
где {\displaystyle t} — параметр.
Только в случае окружности (то есть при {\displaystyle a=b}) параметр {\displaystyle t} является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.
В полярных координатах
Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах {\displaystyle \left(\rho ,\varphi \right)} будет иметь вид
- {\displaystyle \rho ={\frac {p}{1\pm e\cos \varphi }},}
где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.
%d1%8d%d0%bb%d0%bb%d0%b8%d0%Bf%d1%81 — English translation – Linguee
Добавить код BF к соответствующим номерам […] заказов муфт и ниппелей.
staubli.com
Add the code BF to the concerned part-numbers […] of the sockets and the plugs.
staubli.com
bb) содействовать созданию […] у женщин и девочек положительного представления о профессиональной деятельности в области науки
[…]и техники, в том числе в средствах массовой информации и социальных средствах информации и через информирование родителей, учащихся, преподавателей, консультантов по вопросам профориентации и разработчиков учебных программ, а также посредством разработки и расширения других стратегий, призванных стимулировать и поддерживать их участие в этих областях
daccess-ods.un.org
(bb) Promote a positive image […] of careers in science and technology for women and girls, including in the mass media and
[…]social media and through sensitizing parents, students, teachers, career counsellors and curriculum developers, and devising and scaling up other strategies to encourage and support their participation in these fields
daccess-ods.un.org
Во-вторых,
[…] использовать VAV BF типа низкого шума […]ветра шасси используется в основном для различных кондиционеры, воздушные
[…]завесы, отопления и охлаждения, вентилятор и т.д., также могут быть использованы в промышленных и горнодобывающих предприятий, общественных мест, крытый вентиляции.
ru.shyngda.com
Second, use VAV BF type low-noise wind […] chassis is mainly used for a variety of air conditioning units, air curtain, heating
[…]and cooling fan, etc., can also be used in industrial and mining enterprises, public places, indoor ventilation.
en.shyngda.com
Политика управления денежными средствами Компании ограничивает суммы финансовых активов, которые можно содержать в каком-либо из банков, в зависимости от размера капитала уровня такого банка и его долгосрочного кредитного рейтинга, присвоенного агентством Standard & Poors (например, не более 40% для банка с рейтингом «BB» на 31 декабря 2010 года). kmgep.kz
The Company’s treasury policy limits the amount of financial assets held at any one bank to the lower of a stipulated maximum threshold or a percentage of the bank’s Tier I capital, which is linked to the banks long term counterparty credit rating, as measured by Standard and Poor’s rating agency, (e.g. not greater than 40% for a BB rated bank at December 31, 2010). kmgep.kz
bb) меморандум о взаимопонимании […] между национальным управлением Румынии по противодействию отмыванию денежных средств и
[…]секретариатом по противодействию отмыванию денег и имущества Парагвая о сотрудничестве в области обмена данными финансовой разведки об отмывании денег и финансировании терроризма, подписанный в Бухаресте, декабрь 2008 года, и Асунсьоне, декабрь 2008 года
daccess-ods.un.org
(bb) Memorandum of understanding […] between the Romanian National Office for Preventing and Combating Money-laundering and
[…]the Paraguayan Secretariat for Prevention of Money-laundering or Property on cooperation in financial intelligence exchange related to money-laundering and terrorist financing, signed in Bucharest, December 2008, and in Asunción, December 2008
daccess-ods.un.org
Чтобы привести автомобиль в боевую готовность и показать силу были использованы 3-дюймовые навесы и особые
[…]колеса матового черного цвета, а также
[…] грязевые шины М/Т BF Goodrich, был добавлен […]большой передний кенгурятник, ограничительная
[…]планка и багажник на крыше.
ms-auto.co.jp
To be fully armed and show the impact, 3 inch lift ups and
[…]special mat black wheel and BF Goodrich
[…] mud terrain tires, large front grill guard […]and tail guard and roof racks are added.
ms-auto.co.jp
Мы также добавили черные боковые пороги, 2-дюймовый
[…]навес, эксклюзивные колеса черного цвета и всесезонные
[…] грязевые шины BF Goodrich для придания […]более неустрашимого вида.
ms-auto.co.jp
We also added black side tube step, 2 inch lift up, exclusive black color
[…] wheel and BF Goodrich mud terrain tire […]to make it with a look of fearless determination.
ms-auto.co.jp
Еще больше положение компании в
[…] […] глазах рынка было ухудшено решением рейтингового агентства S&P поместить кредитный рейтинг ENRC BB+ на “credit watch negative”, что подразумевает повышенную вероятность падения рейтинга компании в ближайшие […]три месяца.
halykfinance.kz
To make things even worse, S&P placed ENRC’s BB+ credit rating on “credit watch negative”, which implies a higher probability of a downgrade into junk territory over the next three months. halykfinance.kz
В июне 2012 года Международным рейтинговым агентством Fitch Ratings повышены долгосрочные рейтинги Краснодарского края, а также выпуски облигаций в иностранной и национальной валюте с уровня BB до BB+. pwc.ru
In June 2012 international ratings agency Fitch Ratings upgraded the long-term ratings for Krasnodar Territory, as well as foreign and national currency long-term issuer default ratings from ‘BB’ to ‘BB+’, and affirmed Krasnodar’s short-term rating at ‘B’. pwc.ru
1BB 2 b iii 2 Добыча Летучие выбросы (исключая удаление газа и сжигание в факелах) из газовых скважин через входные отверстия на устройствах переработки газа или, если обработка не требуется, в точках стыковки систем транспортировки […] газа.
ipcc-nggip.iges.or.jp
1B 2 b iii 2 Production Fugitive emissions (excluding venting and flaring) from the gas wellhead through to the inlet of gas processing plants, or, where processing is not required, to the tie-in points on gas transmission systems. ipcc-nggip.iges.or.jp
Поскольку пропорциональная
[…] счетная трубка BF3 будет реагировать […]только на термальные нейтроны, полиэтиленовый модератор,
[…]который замедляет случайные быстрые нейтроны до термальных энергий, окружает нейтронно чувствительную трубу.
ru.flukebiomedical.com
Since the BF3 proportional counter […] tube will only respond to thermal neutrons, a polyethylene moderator, which slows the
[…]incident fast neutrons to thermal energies, surrounds the neutron sensitive tube.
flukebiomedical.com
В настоящий момент компания
[…] […] Promwad работает над системой видео наблюдения и регистрации с использованием стандарта сжатия изображения JPEG2000 на базе кодека ADV212/202 и двухъядерного процессора Blackfin BF561.promwad.com
Currently Promwad Company develops a video surveillance and recording system using JPEG2000 image compression standard based on ADV212/202 codec and Blackfin BF561 duo core processor. promwad.com
SF1605x400 обработанной винт мяч
[…] шариковинтовая SF типа обрабатываемой в соответствии с BK12 и BF/FF12 опор ШВП.zappautomation.co.uk
The SF1605x400 machined ball screw is
[…] the SF type ballscrew machined to fit the BK12 and BF/FF12 ballscrew supports.zappautomation.co.uk
Если заготовка имеет важное значение в стране, то
[…]составителям кадастров рекомендуется использовать национальные
[…] данные по заготовкам или вывести значение BF по конкретной стране.ipcc-nggip.iges.or.jp
If logging is significant in the
[…] country, the inventory compilers are encouraged to use national […]harvest data or derive country-specific BF values.
ipcc-nggip.iges.or.jp
I. Общие сведения о Шанхае должен достичь Фан-Ко,
[…] дизайн и производство BF VAV низким шасси шум […]ветра предназначены для вентилятора выхлопных
[…]устройств для удовлетворения оперативных потребностей различных рабочих условиях, он имеет небольшой размер, легкий вес, красивый внешний вид, низкий уровень шума, простота в обслуживании.
ru.shyngda.com
I. Overview of Shanghai should reach a Fan Co., the design and
[…] production of the BF VAV low noise wind chassis […]designed for the blower exhaust devices
[…]to meet the operational requirements of different working conditions, it has a small size, light weight, beautiful appearance, low noise, easy maintenance.
en.shyngda.com
Модели BJ и BB стали первыми марками холдинга […] Mack, построенными под влиянием новых транспортных веяний — машины способные
[…]перевозить более тяжелые и объемные грузы с большей скоростью.
trucksplanet.com
The Models BJ and BB were the first trucks of Mack […] Company, built under the influence of new transport trends — machines
[…]capable of carrying heavy and bulky loads with greater speed.
trucksplanet.com
В мае 2012 года рейтинговое агентство Fitch Rating повысило долгосрочные рейтинги Новосибирской
[…]области в иностранной и национальной
[…] валюте с уровня «BB» до «BB+», а также долгосрочный […]рейтинг по национальной шкале –
[…]с уровня «AA-(rus)» до «AA(rus)».
pwc.ru
In May 2012, Fitch Ratings changed its long-term rating for the Novosibirsk
[…]Region (in foreign and local currency)
[…] from BB to BB+, and its long-term national-scale […]rating from AA-(rus) to AA(rus).
pwc.ru
На грузовики могут устанавливаться зарубежные
[…]дизели Perkins мощностью 65 л.с. (базовый
[…] двигатель) и Deutz BF 04L 2011 мощностью […]79 л.с. или отечественный владимирский
[…]ВМТЗ Д-130Т мощностью 65 л.с. Приводы от валов отбора мощности спереди и сзади позволяют навешивать различное дополнительное оборудование.
trucksplanet.com
The trucks can be equipped with foreign
[…]Perkins 65 hp diesel (Base engine) and Deutz BF 04L 2011 with
[…] an output of 79 hp or domestic VMTZ D-130T […]developes 65 hp.
trucksplanet.com
Вторая категория (BBB, BB, B) — стартап имеет готовый […] или почти готовый (тестирующийся) продукт и начал привлекать первых
[…]клиентов, однако пока не демонстрирует высоких темпов роста клиентской базы и доходов.
digitaloctober.ru
Second category (BBB, BB, B) — the startup has […] a finished or almost finished (at the testing stage) product and has started
[…]attracting its first clients, but has not get demonstrated a high income or client base growth rate.
digitaloctober.com:80
16.11.2009 МРСК Центра присвоен
[…] кредитный рейтинг S&P «BB—/B/ruAA-» прогноз «Стабильный», […]свидетельствующий о способности
[…]и готовности Компании своевременно и в полном объеме выполнять свои финансовые обязательства.
euroland.com
16.11.2009 IDGC of
[…] Centre was assigned a BB-/B/ruAA— credit rating […](“Stable”) by S&P, thus testifying to the Company’s capability
[…]and readiness in the performance of its financial obligations.
euroland.com
Международное рейтинговое агентство Fitch повысило приоритетный необеспеченный рейтинг эмиссии еврооблигаций TNK-BP International Ltd /ТНК-ВР/ на сумму 700 млн долл. с уровня «BB+» до «BBB-, а также приоритетный необеспеченный рейтинг гарантированной программы по выпуску долговых обязательств объемом 5 млрд долл. и существующего выпуска облигаций в рамках программы в размере 1,5 млрд долл. с уровня «BB+» до «BBB-. tnk-bp.com
The international rating agency Fitch raised the priority unsecured rating of the issue of eurobonds of TNK-BP International Ltd. (TNK-BP) by $700 million from the level BB+ to BBB- and the priority unsecured rating of the issue of debt securities for $5 billion and the current issue of bonds for program implementation for $1.5 billion from the level BB+ to BBB-. tnk-bp.com
Долгосрочный рейтинг в иностранной и национальной валюте подтвержден на уровне «BB». telecom.kz
The long-term rating in foreign and national currency was confirmed at “BB” level. telecom.kz
Наряду со страхованием кредита на инвестиции мы наше предложение расширили на два следующих страховых продукта для страхования
[…]просроченных задолженностей по экспортным
[…] поставочным кредитам (вид Bf и Cf), которые позволяют […]банкам откупать экспортные задолженности
[…]без регресса на экспортера.
egap.cz
Simultaneously with insurance of a credit for the financing of investments, we extended our offer by two other insurance products for
[…]insurance of ceded receivables from export
[…] supplier credits (types Bf and Cf) which enable […]banks to purchase export receivables
[…]without recourse against the exporter.
egap.cz
Оборот
[…] компании Manitou BF, специализирующейся […]только на подъемных машинах, превысил миллиард евро (более 15 миллиардов
[…]эстонских крон) в год.
intrac.ee
The turnover of Manitou BF, who is focused […] only on lifting machines, is over one milliard euro (more than 15 milliard Estonian kroons ) a year.
intrac.ee
Если бы Володя Малахов, до этого очень здорово
[…] игравший ту партию, пошел Bf5 c Ефименко, то мы […]бы выиграли тот матч, вышли на чистое первое
[…]место, и, что очень важно, поменялись бы с украинцами местами психологически.
crestbook.com
If Volodya Malakhov, who had played that game extremely well until
[…] then, had gone for Bf5 against Efimenko […]then we’d have won the match, moved into
[…]clear first place and, very importantly, switched places with the Ukrainians psychologically.
crestbook.com
Изъятие древесины (L древ.-изъятия ) рассчитывается с помощью уравнения 2.12 из главы 2, товарные круглые лесоматериалы с корой (H), коэффициент преобразования и
[…]разрастания биомассы (BCEF ), доля
[…] коры в заготовленной древесине (BF), отношение подземной биомассы […]к надземной биомассе (R), доля
[…]углерода в сухом веществе (CF) и табличные данные по умолчанию, раздел 4.5.
ipcc-nggip.iges.or.jp
Wood removal (L wood-removals ) is calculated with Equation 2.12, Chapter 2, merchantable round wood over bark (H), biomass conversion expansion factor (BCEF ), bark
[…]fraction in harvested wood
[…] (BF), below-ground biomass to above-ground biomass ratio (R), carbon […]fraction of dry matter (CF)
[…]and default tables, Section 4.5.
ipcc-nggip.iges.or.jp
bb) должны быть упакованы […] в закрытые контейнеры, которые были официально опечатаны и имеют регистрационный номер зарегистрированного
[…]питомника; этот номер должен быть также указан в фитосанитарном сертификате в разделе «Дополнительная декларация.
fsvfn.ru
bb) be packed in closed containers […] which have been officially sealed and bear the registration number of the registered
[…]nursery; this number shall also be indicated under the rubric “Additional Declaration” on the Phytosanitary Certificate.
fsvfn.ru
bb) Место производства, свободное […] от вредного организма – место производства, где данный вредный организм отсутствует, и
[…]где оно официально поддерживается, cc) Участок производства, свободный от вредного организма — Определённая часть места производства, для которой отсутствие данного вредного организма научно доказано, и где в случае необходимости оно официально поддерживается в течение определённого периода времени, и которая управляется как отдельная единица, но таким же образом, как и свободное место производства.
fsvfn.ru
bb) Pest free place of production […] denotes to a place of production where a specific type of pest is not present and the
[…]place is officially protected, 3 cc) Pest free production site denotes to a production area where a specific type of pest is not present and this status is officially protected for a certain period of time and to a certain part of production area administered as a separate unit as in the case of place of production free from pests.
fsvfn.ru
После того как вы загрузите изображение, вы
[…]сможете поместить его в своих сообщениях,
[…] используя специальный BB код, который отображается […]под изображением при просмотре на полный экран.
forum.miramagia.ru
When you have uploaded a picture, you can place it in your
[…] posts by using the BB code text that is displayed […]below the image when you view it at full size.
forum.miramagia.com
Поиск грузов «в эллипсе» | АТИ
Для того, чтобы искать грузы не только из/в точно указанных при поиске городов, но из/в близлежащих (попутных) населенных пунктов, в нашей системе появился новый дополнительный вариант поиска грузов.
Это поиск грузов «в эллипсе».
Область поиска близка к форме эллипса, хотя и не является точным геометрическим эллипсом, т.к. расстояния рассчитываются по автомобильным дорогам, которые не являются прямыми линиями.При желании использовать подобный вариант поиска, Вам необходимо в форме поиска грузов поставить галочку «поиск грузов «в эллипсе»» и указать значение в поле «максимальное увеличение пути» в километрах или процентах.
В поле «минимальное расстояние перевозки» необходимо указать минимальное расстояние в километрах (или в % от расстояния между заданными пунктами),
которое должна составлять непосредственно перевозка груза. Т.е. грузы на меньшее расстояние показываться не будут.
Этот параметр поможет пользователю, при желании, отсеять внутригородские или внутриобластные локальные грузы.При указании значений «максимальное увеличение пути» и «минимальное расстояние перевозки» в %, за 100% берется расстояние между указанными пунктами загрузки и разгрузки.
Для такого поиска нужно обязательно указать два пункта (только нас. пункты): загрузка (начальная точка) и разгрузка (конечная точка).
При поиске будут находиться все грузы, попадающие в «эллипс», центрами которого будут эти два пункта.
Показываться будут и грузы из начальной точки в любую другую в пределах эллипса, и из любой точки в конечную, и между любыми другими точками в пределах эллипса при попутном направлении
(расстояние от начальной точки до точки настоящей загрузки меньше, чем расстояние от начальной точки до точки разгрузки). «Толщина» эллипса будет определяться пользователем заданием параметра
«максимальное увеличение пути», т.е. на какое значение он готов увеличить свой путь относительно прямого пути между заданными пунктами.Лента или эллипс? — НЦЗД
В тренажерных залах и реабилитационных центрах обязательно присутствуют беговые дорожки и часто с ними, в одной кардиозоне, соседствуют эллиптические тренажеры (они же эллипсы или орбитеки). Оставляя за гранью статьи классификацию этих тренажереов, рассмотрим вопрос а для решения каких задач каждый из них больше подходит. Ответ на данный вопрос лежит в их (тренажеров) различиях.
Беговая дорожка знакома всем и каждому. На ней бегают или ходят. Естественным образом. Все это может сопровождаться упражнениями для верхнего плечевого пояса и дыхательными упражнениями, но непосредственно конструкцией самого тренажера это не предусмотрено. Эллипс — тренажер конструктивно более сложный, как бы сочетающий в себе беговую дорожку, степпер и лыжный тренажер.
Движения тренирующегося не произвольны, а определяются конструкцией и параметрами тренажера. На беговой дорожке затраты энергии больше, но нагружаются в основном мышцы нижних конечностей и спины. Кроме того присутствуют ударные нагрузки на суставы и позвоночник. На эллипсе затрат энергии немного меньше, зато задействуются почти все мышцы тела и практически нет ударных нагрузок, что особенно ценно для людей с патологией суставов или позвоночника, в частности его поясничного отдела. Безопасность эллипса выше, зато беговая дорожка заставляет тренирующегося собраться и контролировать положение своего тела в большей степени.
Таким образом можно сказать, что эллипс подойдет людям с проблемами опорно-двигательной системы из-за отсутствия ударных нагрузок, эллиптического принудительного движения конечностей и хоть и грубой, но коррекции нарушений биомеханики движений всего тела; при ожирении, когда целью является не столько сброс веса, сколько гармоничное «подтягивание форм», т.е уменьшения размеров; при проблемах, связанных с поясом верхних конечностей и самих рук.
Беговая дорожка больше подойдет людям без выраженных проблем с опорно-двигательной системой и вестибулярным аппаратом, желающих тренироваться в более естественной двигательной среде, минимально ограниченной конструкцией тренажера; людям с кардиологическими проблемами так же лучше отдать предпочтение беговой дорожке из-за меньшей мышечной нагрузки и большей возможности дозировать эту самую нагрузку; при ожирении, если во главу угла поставлен именно сброс веса; при нарушениях, связанных именно с процессом ходьбы. Сравнение можно продолжать и дальше, но основное было уже перечислено.
Как строить эллипс
Предметы, имеющие эллиптическую форму, окружают нас повсюду. В частности, именно такую форму имеет Земля и другие планеты Солнечной системы. Данная геометрическая фигура занимает особое место в аналитической геометрии, а сечениеэллипса является главной составляющей тел вращения.Вам понадобитсяЭллипсом называется кривая, состоящая из всех точек плоскости, отвечающих следующему критерию: сумма расстояний от двух точек этой плоскости является постоянной величиной. Существуют три способа построения этой кривой с помощью нити, вписыванием в окружность и по двум окружностям. Для построения эллипса первым способом вам потребуются две булавки, которые необходимо прикрепить к бумаге, образовав тем самым две неподвижные точки F1 и F2, а также карандаш, при помощи которого будет строиться эллипс. Расположив булавки указанным образом, чуть выше отметьте точку М, таким образом, чтобы было справедливо соотношение MF1 >MF2. Натягивая нить и передвигая карандаш, опишите вытянутую линию, которая и будет эллипсом. Расстояние между точками F1 и F2 называется фокусным расстоянием, а сами эти точки — фокусами.
Если отрезок с фокусным расстоянием прочертить до его пересечения с эллипсом, получится большая ось эллипса — AB. Соответственно, если через центр эллипса O провести прямую, перпендикулярную AB и имеющуюоба конца на линии эллипса, то получится малая ось эллипса, называемая DC. Все это показано на рисунке 1. Каноническое уравнение эллипса выглядит следующим образом:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, где a =AO=OB, b =DO=OC
Второй способ построения эллипса основывается на вписывании его в окружность. Для этого на большой оси эллипса постройте окружность. Большая ось эллипса A1A2 будет являться для окружности диаметром. Из точки окружности, заданной произвольно, проведите перпендикуляр к большой оси эллипса. Его длину поделите на некоторую, заранее заданную величину, после чего отметьте на перпендикуляре отрезок, длина которого равна результату деления — его конец и будет одной из точек эллипса. Затем постройте другую прямую, параллельную предыдущей, и проделайте с ней то же самое. Чем больше раз вы повторите эту операцию, тем точнее будет построен эллипс. Так можно построить бесконечное число эллипсов, вписанных в окружность. Этот простой способ построения по точкам описан в книге А. И. Маркушевича «Замечательные кривые».
Согласно третьему способу, эллипс строится по двум окружностям. Для этого прочертите сначала первую окружность, диаметр которой равен большой оси эллипса, а затем вторую, диаметр которой равен предполагаемому фокусному расстоянию эллипса. Большую окружность разделите на несколько частей прямыми, проведенными через центр окружности. Затем проведите через большую окружность прямые, параллельные CD, а через меньшую — параллельные AB, таким образом, чтобы эти прямые между собой пересекались, как показано на рисунке 2. Точки пересечения этих прямых и будут точками эллипса. Соединив их между собой, вы получите эллипс.
Определение эллипса по Merriam-Webster
эл · липза | \ i-ˈlips , е- \б : замкнутая плоская кривая, образованная точкой, движущейся таким образом, что сумма ее расстояний от двух фиксированных точек является постоянной : плоское сечение правого кругового конуса, которое является замкнутой кривой
Эллипс Определение и значение | Словарь.com
📙 Средняя школа УровеньПоказывает уровень обучения в зависимости от сложности слова.
[ih-lips] SHOW IPA
/ ɪˈlɪps / PHONETIC RESPELLING
📙 Уровень средней школыПоказывает уровень обучения в зависимости от сложности слова.
сущ Геометрия.
плоская кривая, у которой суммы расстояний от каждой точки на ее периферии до двух фиксированных точек, фокусов, равны. Это коническое сечение, образованное пересечением правильного кругового конуса плоскостью, пересекающей ось и поверхность конуса.Типичное уравнение: (x2 / a2) + (y2 / b2) = 1. Если a = b, эллипс представляет собой круг.
ВИКТОРИНА
ЗАЖИГТЕ ВАШ VOCAB ДЛЯ «КРАСНОГО» ВИКТОРИНА ПО СИНОНИМАМ
Здесь нет красных пожарных машин, только яростный набор ярких слов для красного цвета, чтобы проверить себя.
Вопрос 1 из 7
Что означает «амарант»?
Начало эллипса
1745–55; эллипсиселлипсис; или путем обратного формирования из множественного числа эллипсовСлова рядом с эллипсом
Элликотт-Сити, Эллингтон, Эллингтон, Дьюк, операция Эллиота, Эллиотт, эллипс, эллипсис, эллипсограф, эллипсоид, эллипсоид, эллипсоидальный суставСловарь.com Несокращенный На основе Несокращенного словаря Random House, © Random House, Inc. 2021
Слова, относящиеся к эллипсу
траектория, вращение, узор, путь, дуга, дуга, контур, петля, апогей, трек, кривая, курс, круг, геометрическое место, круг, круг, цикл, перигей, поворот, разверткаКак использовать эллипс в предложении
.expandable-content {display: none;}. css-12x6sdt.expandable.content-extended> .expandable-content {display: block; }]]>Точно так же представьте, что вам представлен настоящий эллипс, а другой объект представляет собой наклонную монету в форме эллипса.
Отверстие, хотя и имеющее форму эллипса, в которое его поместил этот хорошо подвешенный стержень, выглядело бы так, как если бы его проследил компас.
18 декабря торжествующий Джонсон появился на эллипсе возле Белого дома, чтобы зажечь национальную рождественскую елку.
На эллиптической орбите, образованной притяжением планет, Солнце обязательно занимает один из фокусов эллипса.
Сама длинная ось эллипса находится в постоянном движении в направлении движения Земли.
Форма представляет собой эллипс с осями 620 и 513 футов, здание занимает почти шесть акров земли.
Диск представлял собой невероятно длинный эллипс, окруженный огромным множеством более мелких тел, фрагментов и содержимого корабля.
Эллипс — это фигура, ограниченная непрерывной кривой, природа которой будет показана ниже.
популярных статейli {-webkit-flex-base: 49%; — ms-flex-предпочтительный размер: 49%; flex-base: 49%;} @media только экран и (max-width: 769px) {.css-2jtp0r> li {-webkit-flex-base: 49%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 49%; flex-base: 49%;}} @ media only screen and (max-width: 480px) { .css-2jtp0r> li {-webkit-flex-base: 100%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 100%; flex-base: 100%;}}]]>Определения эллипса в Британском словаре
существительное
замкнутое коническое сечение, имеющее форму сплющенного круга и образованное наклонной плоскостью, которая не пересекает основание конуса. Стандартное уравнение x ² / a ² + y ² / b ² = 1, где 2 a и 2 b — длины большой и малой осей.Область: π ab
Происхождение слова для эллипса
C18: обратное формирование из многоточия
Словарь английского языка Коллинза — полное и несокращенное издание 2012 г., цифровое издание © William Collins Sons & Co. Ltd. 1979, 1986 © HarperCollins Publishers 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012
Научные определения эллипса
Замкнутая симметричная кривая в форме овала, которая может быть образована путем пересечения конуса с плоскостью, которая не параллельна или перпендикулярно основанию конуса.Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фиксированных точек (называемых фокусами) остается постоянной независимо от того, где находится точка на кривой.
Научный словарь американского наследия® Авторские права © 2011. Издано издательской компанией Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены.
Культурные определения для эллипса
В геометрии кривая, очерченная точкой, которая должна перемещаться так, чтобы сумма расстояний до двух фиксированных точек (называемых фокусами) оставалась постоянной.Если фокусы идентичны друг другу, эллипс представляет собой круг; если два очага отличаются друг от друга, эллипс выглядит как сжатый или удлиненный круг.
Новый словарь культурной грамотности, третье издание Авторские права © 2005 издательской компании Houghton Mifflin Harcourt. Опубликовано Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены.
Прочие — это Readingli {-webkit-flex-base: 100%; — ms-flex-preferred-size: 100%; flex-base: 100%;} @ media only screen and (max-width: 769px) {.css-1uttx60> li {-webkit-flex-base: 100%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 100%; flex-base: 100%;}} @ media only screen and (max-width: 480px) { .css-1uttx60> li {-webkit-flex-base: 100%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 100%; гибкая основа: 100%;}}]]>Эллипс | COSMOS
Эллипс — одно из четырех классических конических сечений, созданных путем разрезания конуса плоскостью. Остальные — парабола, круг и гипербола. Эллипс жизненно важен в астрономии, поскольку все небесные объекты на периодических орбитах вокруг других небесных объектов имеют очертания эллипсов.Эллипс определяется как геометрическое место всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний r 1 и r 2 до двух фиксированных точек F 1 и F 2 (называемые фокусами), разделенные расстоянием 2c , представляет собой заданную константу 2a .
Следовательно, из этого определения уравнение эллипса выглядит следующим образом: r 1 + r 2 = 2a , где a = большая полуось.
Наиболее распространенная форма уравнения эллипса записывается с использованием декартовых координат с началом в точке на оси x между двумя фокусами, показанными на диаграмме слева.Если мы определим малую полуось, b 2 = a 2 — c 2 , то уравнение эллипса можно переписать как:
где большая полуось Малая полуось Форма эллипса описывается его эксцентриситетом.Чем больше большая полуось относительно малой полуоси, тем более эксцентричным считается эллипс. Эксцентриситет определяется как:
Еще одно полезное соотношение можно получить, заменив b в приведенном выше уравнении:
Это дает интерпретацию эксцентриситета как положения фокусов как доли большой полуоси.
Положение точки на эллипсе может быть указано с использованием полярных координат, радиального расстояния r и угла f с началом координат в одном из фокусов.Это позволяет нам выразить координаты (x, y), используя:
Уравнение эллипса также можно записать в полярных координатах ( r, f ). Подставляя x и y в уравнение эллипса, получаем:
Круг — это частный случай эллипса с c = 0 , то есть два фокуса совпадают и становятся центром круга.Если мы заменим нулевой эксцентриситет в приведенных выше уравнениях, мы получим a = b , так что обе оси равны друг другу и радиусу окружности.
Эллипсы
Эллипс — это набор всех точек п в такой плоскости, что сумма расстояний от п к двум неподвижным точкам — заданная константа. Каждая из неподвижных точек называется фокус . (Множественное число — фокусы.)
Сегменты п F 1 ¯ а также п F 2 ¯ являются фокусные радиусы из п .
В центр эллипса — это середина отрезка прямой, соединяющего его фокусы. В большая ось эллипса — это хорда, которая проходит через его фокусы и имеет концы на эллипсе. В малая ось Эллипса — это хорда, которая содержит центр эллипса, имеет концы на эллипсе и перпендикулярна большой оси.
Эллипс имеет квадратное уровненеие в двух переменных.
Учитывая эллипс с центром в ( 0 , 0 ) , его фокус на Икс -ось на ( c , 0 ) а также ( — c , 0 ) , Икс -перехватывает ( ± а , 0 ) а также Икс -перехватывает ( 0 , ± б ) .Длина большой оси составляет 2 а а уравнение эллипса имеет вид
Икс 2 а 2 + у 2 б 2 знак равно 1 куда б 2 знак равно а 2 — c 2
Основная ось находится на Икс -ось.
Если фокусы на эллипсе находятся на у -оси, то точки фокусировки ( 0 , ± c ) , а формула
Икс 2 б 2 + у 2 а 2 знак равно 1 куда б 2 знак равно а 2 — c 2
Основная ось находится на у -ось.В Икс -перехваты ( ± б , 0 ) и у -перехваты ( 0 , ± а ) .
Обратите внимание, что большая ось горизонтальна, если Икс 2 -терм имеет больший знаменатель и вертикаль, если у 2 -терм имеет больший знаменатель. Поскольку больший из двух знаменателей равен а 2 , длина большой оси всегда 2 а а длина малой оси всегда 2 б .Расстояние от центра до любого фокуса | c |,
Поскольку центр каждого из этих эллипсов имеет центр в начале координат, они называются центральные эллипсы .
Пример 1:
Учитывая эллипс с уравнением Икс 2 9 + у 2 4 знак равно 1 найди его
Икс — а также у -перехватчики и их очаги.Его Икс -перехваты ( 3 , 0 ) а также ( — 3 , 0 ) .
Его у -перехваты ( 0 , 2 ) а также ( 0 , — 2 ) .
б 2 знак равно а 2 — c 2 так c 2 знак равно а 2 — б 2
c 2 знак равно 9 — 4 знак равно 5
c знак равно ± 5 .Поскольку большая ось — это горизонтальная ось, фокусы расположены на ( 5 , 0 ) а также ( — 5 , 0 ) .
График эллипса можно перевести так, чтобы его центр находился в точке ( час , k ) . Это означает, что график был переведен час единиц по горизонтальной оси и k единиц по вертикальной оси.
Горизонтальная большая ось Вертикальная большая ось
( Икс — час ) 2 а 2 + ( у — k ) 2 б 2 знак равно 1 ( Икс — час ) 2 б 2 + ( у — k ) 2 а 2 знак равно 1
Фокусы на ( час — c , k ) а также ( час + c , k ) Фокусы на ( час , k — c ) а также ( час , k + c )
Пример 2:
Найдите уравнение эллипса с фокусами ( — 3 , 4 ) а также ( 9 , 4 ) и длина большой оси 14 .
Сумма фокусных радиусов равна 14 , так 2 а знак равно 14 а также а знак равно 7 .
Центр находится на полпути между фокусами на ( 3 , 4 ) .
Расстояние от центра до каждого фокуса составляет 6 , так c знак равно 6 .
б 2 знак равно а 2 — c 2 так б 2 знак равно 7 2 — 6 2 знак равно 49 — 36 знак равно 13 .
Следовательно, уравнение эллипса имеет вид ( Икс — 3 ) 2 49 + ( у — 4 ) 2 13 знак равно 1
Эллипс также можно определить как коническое сечение, полученное пересечением конуса с плоскостью, не перпендикулярной плоскости. ось симметрии и не пересекает основание конуса.
Эллипс — Высшая алгебра
Цели обучения
В этом разделе вы будете:
- Запишите уравнения эллипсов в стандартной форме.
- Эллипсы графика с центром в начале координат.
- Эллипсы графика не центрированы в начале координат.
- Решать прикладные задачи с эллипсами.
Национальный скульптурный зал в Вашингтоне, округ Колумбия (фото: Грег Палмер, Flickr)
Можете ли вы представить, что стоите в одном конце большой комнаты и все еще слышите шепот человека, стоящего в другом конце? Национальный скульптурный зал в Вашингтоне, округ Колумбия.C., показанная на (Рисунок), и есть такая комната. 1 Это комната овальной формы, которая называется камерой шепота , потому что эта форма позволяет звуку распространяться по стенам. В этом разделе мы исследуем форму этой комнаты и ее применение в реальном мире, включая то, насколько далеко друг от друга могут стоять два человека в Скульптурном зале и при этом слышать шепот друг друга.
Написание уравнений эллипсов в стандартной форме
Коническое сечение, или конус, представляет собой форму, полученную в результате пересечения правильного кругового конуса с плоскостью.Угол, под которым плоскость пересекает конус, определяет форму, как показано на (Рисунок).
Конические сечения также можно описать набором точек на координатной плоскости. Позже в этой главе мы увидим, что график любого квадратного уравнения с двумя переменными представляет собой коническое сечение. Знаки уравнений и коэффициенты переменных членов определяют форму. В этом разделе рассматриваются четыре варианта стандартной формы уравнения эллипса. Эллипс — это набор всех точек на плоскости, сумма расстояний между которыми от двух фиксированных точек является постоянной.Каждая фиксированная точка называется фокусом (множественное число: фокусы).
Мы можем нарисовать эллипс с помощью куска картона, двух канцелярских кнопок, карандаша и веревки. Поместите канцелярские кнопки в картон, чтобы сформировать фокусы эллипса. Отрежьте кусок веревки длиннее, чем расстояние между двумя кнопками (длина строки представляет собой константу в определении). Прикрепите каждый конец веревки к картону и начертите кривую карандашом, плотно прижатым к веревке. В результате получился эллипс.См. (Рисунок).
Каждый эллипс имеет две оси симметрии. Более длинная ось называется большой осью, а более короткая ось — меньшей осью. Каждая конечная точка большой оси является вершиной эллипса (множественное число: вершины), а каждая конечная точка малой оси является совершиной эллипса. Центр эллипса — это середина большой и малой осей. Оси перпендикулярны в центре. Фокусы всегда лежат на большой оси, и сумма расстояний от фокусов до любой точки эллипса (постоянная сумма) больше, чем расстояние между фокусами.См. (Рисунок).
В этом разделе мы ограничиваем эллипсы теми, которые расположены вертикально или горизонтально в координатной плоскости. То есть оси будут либо лежать, либо быть параллельны осям x и y . Позже в этой главе мы увидим эллипсы, повернутые в координатной плоскости.
Для работы с горизонтальными и вертикальными эллипсами в координатной плоскости мы рассматриваем два случая: те, которые центрированы в начале координат, и те, которые центрированы в точке, отличной от начала координат.Сначала мы научимся выводить уравнения эллипсов, а затем научимся записывать уравнения эллипсов в стандартной форме. Позже мы будем использовать полученные знания для рисования графиков.
Запись уравнений эллипсов с центром в начале координат в стандартной форме
Стандартные формы уравнений рассказывают нам об основных особенностях графиков. Найдите минутку, чтобы вспомнить некоторые стандартные формы уравнений, с которыми мы работали в прошлом: линейные, квадратичные, кубические, экспоненциальные, логарифмические и т. Д.Научившись интерпретировать стандартные формы уравнений, мы устраняем взаимосвязь между алгебраическими и геометрическими представлениями математических явлений.
Ключевыми особенностями эллипса являются его центр, вершины, совпадения вершин, фокусы, а также длина и положение большой и малой осей. Как и в случае с другими уравнениями, мы можем идентифицировать все эти особенности, просто взглянув на стандартную форму уравнения. Существует четыре варианта стандартной формы эллипса. Эти вариации классифицируются сначала по положению центра (начало или не начало), а затем по положению (по горизонтали или по вертикали).Каждый представлен вместе с описанием того, как части уравнения соотносятся с графиком. Интерпретация этих частей позволяет нам сформировать мысленную картину эллипса.
Написание уравнения эллипса с центром в исходной точке в стандартной форме
Уравнение стандартной формы эллипса, имеющего вершины и фокусы
Уравнение стандартной формы эллипса, имеющего вершины и фокусы
Написание уравнений эллипсов, не центрированных в начале координат
Как и графики других уравнений, график эллипса можно преобразовать.Если эллипс переведен на единицы по горизонтали и единицы по вертикали, центр эллипса будет таким, что в результате этого перевода получится стандартная форма уравнения, которое мы видели ранее, с заменой на и на
.Написание уравнения эллипса с центром в точке, отличной от начала координат
Какова стандартная форма уравнения эллипса с вершинами и
?и fociand
Координаты вершин и фокусов x совпадают, поэтому большая ось параллельна оси y .Таким образом, уравнение эллипса будет иметь вид
Сначала мы определяем центр, центр находится на полпути между вершинами, и, применяя формулу средней точки, мы имеем:
Далее мы находим: длина большой оси ограничена вершинами. Мы решаем for, находя расстояние между координатами y вершин.
Так
Теперь мы находим, что фокусы даны таким образом, и мы заменяем их, используя любую из этих точек, чтобы найти
Так
Затем мы решаем, используя уравнение
Наконец, подставляем найденные значения и в уравнение стандартной формы для эллипса:
Графические эллипсы с центром в начале координат
Так же, как мы можем написать уравнение для эллипса с учетом его графика, мы можем изобразить эллипс с учетом его уравнения.Чтобы отобразить эллипсы с центром в начале координат, мы используем стандартную форму для горизонтальных эллипсов и для вертикальных эллипсов.
Построение эллипса с центром в исходной точке
Изобразите эллипс, заданный уравнением, определите и пометьте центр, вершины, совпадающие вершины и фокусы.
Постройте эллипс, заданный уравнением. Определите и пометьте центр, вершины, совпадения вершин и фокусы.
Построение эллипса с центром в начале координат из уравнения, не входящего в стандартную форму
Постройте эллипс, заданный уравнением. Перепишите уравнение в стандартной форме.Затем определите и пометьте центр, вершины, совпадения вершин и фокусы.
Постройте эллипс, заданный уравнением. Перепишите уравнение в стандартной форме. Затем определите и пометьте центр, вершины, совпадения вершин и фокусы.
Графические эллипсы, не центрированные в исходной точке
Когда эллипс не центрирован в начале координат, мы все еще можем использовать стандартные формы, чтобы найти ключевые особенности графика. Когда эллипс находится в центре в какой-то момент, мы используем стандартные формы для горизонтальных эллипсов и для вертикальных эллипсов.Из этих стандартных уравнений мы можем легко определить центр, вершины, ковершины, фокусы и положения большой и малой осей.
Построение эллипса с центром в ( h , k )
Изобразите эллипс, заданный уравнением, определите и пометьте центр, вершины, совпадающие вершины и фокусы.
Постройте эллипс, заданный уравнением. Определите и пометьте центр, вершины, совпадения вершин и фокусы.
Построение эллипса с центром в точке ( h , k ) путем первого написания его в стандартной форме
Постройте эллипс, заданный уравнением. Определите и пометьте центр, вершины, совпадения вершин и фокусы.
Выразите уравнение эллипса в стандартной форме. Определите центр, вершины, совпадения вершин и фокусы эллипса.
Решение прикладных задач с использованием эллипсов
Многие реальные ситуации могут быть представлены эллипсами, включая орбиты планет, спутников, лун и комет, а также формы килей лодок, рулей и некоторых крыльев самолетов. В медицинском устройстве, называемом литотриптером, используются эллиптические отражатели для разбивания камней в почках путем генерации звуковых волн.Некоторые здания, называемые камерами шепота, имеют эллиптические купола, так что человека, шепчущего в одном фокусе, может легко услышать кто-то, стоящий в другом фокусе. Это происходит из-за акустических свойств эллипса. Когда звуковая волна возникает в одном фокусе шепчущей камеры, звуковая волна будет отражаться от эллиптического купола и обратно в другой фокус. См. (Рисунок). В комнате для шепота в Музее науки и промышленности в Чикаго два человека, стоящие в очагах, на расстоянии около 43 футов друг от друга, могут слышать шепот друг друга.
Звуковые волны отражаются между фокусами в эллиптической комнате, называемой камерой шепота.
Обнаружение очагов шепчущей камеры
Скульптурный зал в Капитолии в Вашингтоне, округ Колумбия, представляет собой комнату шепота. Его размеры составляют 46 футов в ширину и 96 футов в длину, как показано на (Рисунок).
- Какова стандартная форма уравнения эллипса, представляющего очертания комнаты? Подсказка: возьмем горизонтальный эллипс и пусть центром комнаты будет точка .
- Если два сенатора, стоящие в центре этой комнаты, могут слышать шепот друг друга, как далеко друг от друга находятся сенаторы? Округлите до ближайшего фута.
- Мы предполагаем горизонтальный эллипс с центром, поэтому нам нужно найти уравнение в форме, где мы знаем, что длина большой оси больше, чем длина малой оси. Таким образом, представлена длина комнаты 96 по большой оси, а ширина комнаты, 46, представлена по малой оси.
Следовательно, уравнение эллипса
- Чтобы найти расстояние между сенаторами, мы должны найти расстояние между фокусами, где мы должны:
Точки представляют фокусы.Таким образом, расстояние между сенаторами составляет футов.
Предположим, что камера шепота имеет длину 480 футов и ширину 320 футов.
- Какая стандартная форма уравнения эллипса, представляющего комнату? Подсказка: возьмем горизонтальный эллипс и пусть центром комнаты будет точка .
- Если два человека стоят в центре этой комнаты и могут слышать шепот друг друга, как далеко друг от друга находятся люди? Округлите до ближайшего фута.
- Люди стоят 358 футов друг от друга.
Ключевые понятия
- Эллипс — это набор всех точек на плоскости, сумма расстояний между ними от двух фиксированных точек является постоянной. Каждая фиксированная точка называется фокусом (множественное число: фокусы).
- Когда даны координаты фокусов и вершин эллипса, мы можем записать уравнение эллипса в стандартной форме. См. (Рисунок) и (Рисунок).
- Когда дано уравнение для эллипса с центром в начале координат в стандартной форме, мы можем определить его вершины, совпадения вершин, фокусы, а также длины и положения большой и малой осей, чтобы построить график эллипса.См. (Рисунок) и (Рисунок).
- Когда дано уравнение для эллипса с центром в некоторой точке, отличной от начала координат, мы можем определить его ключевые особенности и построить график эллипса. См. (Рисунок) и (Рисунок).
- Реальные ситуации могут быть смоделированы с использованием стандартных уравнений эллипсов, а затем оценены, чтобы найти ключевые особенности, такие как длины осей и расстояние между фокусами. См. (Рисунок).
Упражнения по разделам
Словесный
Определите эллипс с точки зрения его фокусов.
Эллипс — это набор всех точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, является постоянной.
Где должны находиться фокусы эллипса?
Какой у нас частный случай эллипса, когда большая и малая оси имеют одинаковую длину?
Этим частным случаем будет круг.
Для особого случая, упомянутого в предыдущем вопросе, что будет правдой о фокусах этого эллипса?
Что можно сказать о симметрии графика эллипса с центром в начале координат и фокусами по оси y ?
Он симметричен относительно оси x , оси y и начала координат.
Алгебраические
Для следующих упражнений определите, представляют ли данные уравнения эллипсы. Если да, напишите в стандартной форме.
да;
да;
Для следующих упражнений запишите уравнение эллипса в стандартной форме и определите конечные точки большой и малой осей, а также фокусы.
Для следующих упражнений найдите фокусы для данных эллипсов.
Очаги
Фокус
Очаги
Графический
Для следующих упражнений нарисуйте данные эллипсы, отмечая центр, вершины и фокусы.
В следующих упражнениях используйте информацию о графике каждого эллипса, чтобы определить его уравнение.
По центру в начале координат, симметрично относительно осей x и y , сфокусируйтесь и укажите на графике
По центру в начале координат, симметрично относительно осей x и y , сфокусируйтесь и укажите на графике
Центр в начале координат, симметричен относительно осей x и y , фокус в точке и большая ось вдвое длиннее малой оси.
Центр; вершина; один фокус :.
Центр; вершина; один фокус:
Центр; вершина; один фокус:
Для следующих упражнений, учитывая график эллипса, определите его уравнение.
Расширения
Для следующих упражнений найдите площадь эллипса. Площадь эллипса определяется формулой
Реальные приложения
Найдите уравнение эллипса, которое поместится внутри коробки шириной 8 единиц и высотой 4 единицы.
Найдите уравнение эллипса, которое поместится внутри прямоугольника, ширина которого в четыре раза превышает его высоту. Выразите по высоте.
Арка имеет форму полуэллипса (верхняя половина эллипса). Арка имеет высоту 8 футов и пролет 20 футов. Найдите уравнение для эллипса и используйте его, чтобы найти высоту арки с точностью до 0,01 фута на расстоянии 4 фута от центра.
Арка имеет форму полуэллипса.Арка имеет высоту 12 футов и пролет 40 футов. Найдите уравнение для эллипса и используйте его, чтобы найти расстояние от центра до точки, в которой высота составляет 6 футов. Округлить до ближайшей сотой.
. Расстояние = 17,32 фута
Мост должен иметь форму полуэллиптической арки и иметь пролет 120 футов. Высота арки на расстоянии 40 футов от центра должна быть 8 футов. Найдите высоту арки в ее центре.
Человек в галерее шепота, стоящий в одном фокусе эллипса, может шептать и быть услышанным человеком, стоящим в другом фокусе, потому что все звуковые волны, достигающие потолка, отражаются другому человеку.Если шепчущая галерея имеет длину 120 футов, а фокусы расположены в 30 футах от центра, найдите высоту потолка в центре.
Человек стоит в 8 футах от ближайшей стены в галерее шепота. Если этот человек находится в одном фокусе, а другой фокус находится на расстоянии 80 футов, каковы длина и высота в центре галереи?
Сноски
- 1 Архитектор Капитолия. http://www.aoc.gov. По состоянию на 15 апреля 2014 г.
Глоссарий
- центр эллипса
- середина большой и малой осей
- коническое сечение
- любая форма, полученная в результате пересечения прямого кругового конуса с плоскостью
- эллипс
- набор всех точек на плоскости, сумма расстояний между ними от двух фиксированных точек является постоянной
- очаги
- множественное число фокуса
- фокус (эллипса)
- одна из двух фиксированных точек на большой оси эллипса, так что сумма расстояний от этих точек до любой точки эллипса является постоянной
- большая ось
- длинная из двух осей эллипса
- Малая ось
- короче из двух осей эллипса
Коники: Эллипсы: Введение
Коники: Эллипсы: Введение (стр. 1 из 4)
Разделы: Введение, Находки информацию из уравнения, Нахождение уравнение из информации, Word Problems
Неформально эллипс — это овал или «сплющенный» круг.В «примитивном» геометрические термины, эллипс — это фигура, которую вы можете нарисовать на песке следующий процесс: воткните две палки в песок. Возьми кусок нанизывайте и сформируйте петлю, достаточно большую, чтобы обойти две палочки. и все еще есть слабина. Возьмите третью палку, зацепите ее за шнур петлю, туго натяните петлю, оттягивая палку от первых двух палки, и перетащите эту третью палку через песок на самом дальнем расстоянии петля позволит.Получившаяся форма, нарисованная на песке, представляет собой эллипс.
Каждая из двух палок, которые вы нажали первой в песок стоит « фокус » эллипса; оба вместе называются «фокусами» (FOH-siy). Если провести линию на песке «сквозь» эти две палочки, от один конец эллипса к другому, это будет отмечать «основной» ось эллипса. Точки соприкосновения большой оси с эллипсом это « вершин » эллипса.Точка посередине между двумя палками — это «, центр, ». эллипса.
Если провести линию через этот центр, перпендикулярно большой оси и от одной стороны эллипса к другой, это отметит «второстепенную» ось. Точки, где малая ось, касающаяся эллипса, — это « совершин ». Полуось от центра к эллипсу называется «большой полуосью». или «малая полуось», в зависимости от того, какую ось вы выберете половина от.
Расстояние от центра до любого focus — фиксированное значение c . Расстояние от центра до вершины — фиксированное значение a . Значения a и c будут меняться от одного эллипса к другому, но они фиксированы для любого заданного эллипс. Я сохраняю значение этих двух букв, неправильно произнося фраза «фокус для c » как «FOH-ciy foh SEE», чтобы напомнить мне, что c относится к фокусу.Затем другая буква ( ) для другого типа точки (вершины).
Длина большой полуоси составляет a а длина всей большой оси составляет 2 a , а расстояние между фокусами 2 c . Хорошо, теперь у нас есть отношения для и с , что заставляет задуматься: «Что случилось с b ?» Три буквы связаны уравнением b 2 = a 2 c 2 или, в качестве альтернативы (в зависимости от вашей книги или преподавателя), уравнением б 2 + в 2 = a 2 .
(Для доказательства родства требуются страницы и страницы алгебраических вычислений, так что просто поверьте мне, что уравнение правда. Также можно с болью показать, что b также является длиной малой полуоси, поэтому расстояние через эллипс в «более коротком» направлении равен 2 b . Да, теорема Пифагора участвует в доказательстве этого материала. Да эти — те же буквы, которые используются в теореме Пифагора.Нет, это , а не то же, что и теорема Пифагора. Да, это очень сбивает с толку. Принимать это, обязательно запомните отношения перед следующим тестом и двигайтесь по.)
Для эллипса шириной больше высоты с центр в ( ч , k ), имеющий вершины a единиц по обе стороны от центра и фокусов c единиц по обе стороны от центра, уравнение эллипса:
авторское право Элизабет Стапель 2010-2011 Все права защищеныДля эллипса больше ширины с центр в ( ч , k ), имеющий вершины a единицы выше и ниже центра и фокусов c единиц выше и ниже центра, уравнение эллипса:
Уравнение эллипса в форме коник имеет следующий вид: всегда «= 1».Обратите внимание, что в обоих приведенных выше уравнениях h всегда оставался с x а k всегда остался с у . Единственное, что изменилось между двумя уравнениями, — это размещение из a 2 и b 2 . Модель a 2 всегда идет с переменной, ось которой параллельна более широкому направлению эллипса; b 2 всегда идет с переменной, ось которой параллельна более узкому направлению.Если посмотреть на уравнения с другой стороны, больший знаменатель всегда дает вам значение a 2 , меньший знаменатель всегда дает значение b 2 , и два знаменателя вместе позволяют найти значение c 2 и ориентация эллипса.
Эллипсы по своей природе не идеальны. круглый «в техническом смысле, когда круги круглые.Мера величины, на которую эллипс «сжимается» от того, чтобы быть идеально круглый называется эксцентриситетом эллипса, а значение эксцентриситета эллипса обозначается как e = c / a . Поскольку очаги ближе к центру, чем вершины, то c < a , поэтому значение e всегда будет меньше 1. Если фокусы эллипса втянуты внутрь к центру, эллипс будет постепенно приближаться к кругу.Продолжая этот процесс, если мы положим c = 0 (так что фокусы на самом деле находятся в центре), это будет соответствовать e = 0, причем эллипс действительно круг. Это говорит нам о том, что значение e для истинного (не кругового) эллипса всегда будет больше 0. Собирая все вместе, мы видим, что 0 < e <1 для любого эллипса.
Когда ученые ссылаются на что-то (например, как Плутон) как имеющий «эксцентрическую» орбиту, они не означают, что орбита «странная»; они имеют в виду, что это «далеко не круговой «.В случае Плутона его орбита фактически пересекает эту Нептуна время от времени. Чем больше значение e , тем более «сжатый» эллипс.
Физическое свойство эллипсов состоит в том, что звуковые или световые лучи, исходящие из одного очага, будут отражаться обратно в другой фокус. Это свойство можно использовать, например, в медицине. Пациент страдающих, скажем, желчными камнями, можно поставить рядом с машиной, которая испускает ударные волны от пациента в эллиптическую чашу.В пациент аккуратно располагается так, чтобы желчные камни находились в одном фокусе эллипса, с наполненной водой подушкой между машиной и пациент, позволяющий эффективно передавать ударные волны. Машина испускает волны из другого фокуса эллипса; эти волны рассеиваются безвредно из эмиттера в эллиптическую чашу, отскочить от чаши, и, наконец, сконцентрируйтесь на другом фокусе (внутри пациента).В ударные волны достигают полной мощности только в фокусе пациента, где они разбивают камень на достаточно мелкие кусочки, чтобы тело пациента могло избавиться от них самостоятельно. Пациент может отправиться домой в тот же день, не потребовалось инвазивной хирургии.
Верх | 1 | 2 | 3 | 4 | Возвращение к указателю Вперед >>
Цитируйте эту статью как:
Стапель, Елизавета.«Коники: Эллипсы: Введение». Пурпурная Математика . Доступный с
https://www.purplemath.com/modules/ellipse.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.эллипс — Викисловарь
Английский [править]
Этимология [править]
Из французского эллипса .Дублет многоточие .
Произношение [править]
- IPA (ключ) : / ɪˈlɪps /, / iˈlɪps /
Существительное [редактировать]
эллипс ( множественного числа эллипсов )
- (геометрия) Замкнутая кривая, геометрическое место точки, такое, что сумма расстояний от этой точки до двух других фиксированных точек (называемых фокусами эллипса) постоянна; эквивалентно, коническое сечение, которое является пересечением конуса с плоскостью, которая не пересекает основание конуса.
Синонимы [править]
- овал ( в нетехническом использовании )
Переводы [править]
Глагол [править]
эллипс ( простое настоящее в единственном числе от третьего лица эллипсов , причастие настоящего многоточие , простое причастие прошедшего и прошедшего времени многоточие )
- (грамматика) Чтобы удалить из фразы слово, которое необходимо грамматически, но которое ясно понимается без необходимости указывать.
- В ответе B на вопрос A: — (A: Вы бы хотели выйти?, B: Я бы хотел), слова с многоточием — это .
Связанные термины [править]
См. Также [править]
Этимология [править]
Заимствовано из латинского ellīpsis , что само по себе заимствовано из древнегреческого ἔλλειψις (élleipsis).
Произношение [править]
Существительное [править]
эллипс f ( множественное число эллипсов )
- (геометрия) эллипс
- (грамматика, риторика) многоточие
Дополнительная литература [править]
Существительное [править]
эллипс
- аблатив единственного числа от многоточия
Норвежский букмол [править]
Этимология [править]
от латинского многоточие , от древнегреческого ἔλλειψις (élleipsis)
Существительное [править]
эллипс м ( определенное единственное число эллипс , неопределенное множественное число эллипс , определенное множественное число эллипсен )
- (геометрия) эллипс
- (грамматика, риторика, типографика) многоточие
Производные термины [править]
Источники [править]
Норвежский нюнорск [править]
Этимология [править]
от латинского многоточие , от древнегреческого ἔλλειψις (élleipsis)
Существительное [править]
эллипс м ( определенное единственное число эллипс , неопределенное множественное число эллипсар , определенное множественное число эллипсан )
- (геометрия) эллипс
- (грамматика, риторика, типографика) многоточие
Производные термины [править]
Источники [править]
.
Добавить комментарий